背理法と対偶って違うの？ (117ﾚｽ)
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38: 2024/11/13(水)12:07 ID:0yIDnyuw(1/3) AAS
直観主義論理と背理法
下記が分かり易い
mathlog.info/articles/3000
E 自己紹介・記録 2022年2月15日
私が直観主義論理を擁立するたった1つの理由
本題に入る前に
最初に明確にしておきたいのですが、私は古典論理における背理法や排中律の正しさを疑っているわけでは全くありません。
省14
39: 2024/11/13(水)12:08 ID:0yIDnyuw(2/3) AAS
下記は、かなり荒っぽい説明ですが
ゆえに分かり易い説明で、参考になります
『集合論のパラドックスです。例えばXを自分自身を元として含まない集合の集合としましょう。さてX∈Xでしょうか。X∈XとするとXの定義からXの元ではありません。一方X∈Xではないとすると、X∈Xのはずです。いずれにしても矛盾が導かれます。』
これに対する直観主義（構成主義）は
『排中律（任意の命題Pについて「PであるかPでないかどちらかである」とする主張)を否定する』です
note.com/yoriyuki/n/n456e260e4b1f
数学基礎論論争は結局どうなったか 筆の滑り 2020年5月17日
省18
40: 2024/11/13(水)12:09 ID:0yIDnyuw(3/3) AAS
つづき
直観主義（構成主義）
直観主義数学とは、オランダの数学者ブラウアー(1881-1966)によって提唱された立場です。直観主義数学は排中律（任意の命題Pについて「PであるかPでないかどちらかである」とする主張)を否定する数学と紹介されることがありますが、排中律を否定するのはその主張の一部であって、他の古典数学の主張も否定されたり、古典数学とは相容れない独自の主張がなされることもあります。また、気まぐれに排中律を否定しているわけではなく、その背景には理由付けが存在します。
直観主義数学は大雑把に言って「具体的に操作可能なもの」だけが数学の対象だと考えます。そして、何かが存在すると主張することはそれを「構成」することだと考えます。また、「証明」自体も数学の対象です。ただし、数学の証明とは形式論理の推論の並びではなく、ある数学的命題の正しさを「構成」する「直観」です。
略
新しい数学の基礎として注目されているホモトピー型理論は直観主義型理論にUnivalent axiomという公理を追加したものになっています。また、古典的な数学をある程度直観主義の数学で解釈することが可能です。なので真っ向から対立するものだ、と考える必要はないことを付け加えておきます。
その後どうなったか
省3
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