背理法と対偶って違うの？

[過去ﾛｸﾞ] 背理法と対偶って違うの？ (117ﾚｽ)
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51: １３２人目の素数さん [sage] 2024/11/28(木) 15:45:09.56 ID:XCAq3thN

つづき

対偶について説明します。
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2種類ある「背理法」とはなんぞや、について説明します。
「A⇒⊥である。よって¬Aが成り立つ」これは「否定導入」または「狭義の背理法」といい、どちらの論理体系でも使えるのでした。
一方で、
「¬A⇒⊥である。よってAが成り立つ」これはどうでしょう？
この方法は「否定導入」に加えて「二重否定の除去」を利用する必要があるため、一般に直観主義論理の立場では使えません。こちらを「広義の背理法」といいます。
高校数学は当然古典論理の立場なので、2種類の背理法を区別する必要はなく、どちらも単に「背理法」と呼んでいました。
しかし論理学の中では、使い分けに注意が必要です。論理学の中で単に「背理法」と言った場合、「否定導入」のみを指すのか、「広義の背理法」も含めるのか、予め断っておかないと誤解を招く可能性があります。いっそ「背理法」という言葉自体使わないことにして「否定導入」や「二重否定の除去」だけで用語を統一するのも手です。

まとめると、次のようになります。
古典論理→否定導入（狭義の背理法）、広義の背理法、対偶、全部OK。
直観主義論理→否定導入（狭義の背理法）のみOKで、広義の背理法や対偶はNG。

ここで例題。高校数学の有名な問題に、「√2が無理数であること」の「背理法」による証明がありますね。
「有理数だと仮定したら、「整数aが2を素因数に持つ」「整数aが2を素因数に持たない」の両方が成り立つ、よって矛盾」というやつです。
この証明はどっちの「背理法」でしょうか？

答は「狭義の背理法」すなわち「否定導入」です。
そもそも無理数であることの定義が「有理数でない」すなわち¬「有理数である」という形です。
「有理数である」と仮定して矛盾を導き、よって¬「有理数である」と結論づけるのは、否定導入です。二重否定の除去は使っていません

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以下、コメント返し。

> A⇒Bにおいて、（中略）背理法では￢(Ａ⋀￢Ｂ)が真であることを示すとよく言われます

これは広義の背理法です。
「￢(Ａ⋀￢Ｂ)が成り立つ。よってA⇒B（すなわち¬A∨B）も成り立つ」という論証は、二重否定の除去を前提としています。
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(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1730979839/51

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