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スレタイ 箱入り無数目を語る部屋22 (1002ﾚｽ)
スレタイ 箱入り無数目を語る部屋22 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/
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654: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2024/09/14(土) 22:35:13.32 ID:sFd+TmI6 >>652 補足 > ”多項式環F[x]は、可算無限次元だが、形式的冪級数環は 可算無限次元とは言えない” > みたいなことが書いてあった （>>560より） https://manabitimes.jp/math/1161 高校数学の美しい物語 2024/07/01 e^xのマクローリン展開，三角関数との関係 指数関数のマクローリン展開 e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+・・ (引用終り) 指数関数 exp(ax)=e^(ax) a∈R で、aが異なる 例えば a≠b (いずれも0ではない)のとき e^(ax)とe^(bx) が、線形独立ならば 指数関数 e^(ax) は、連続パラメータaごとに線形独立になるので これらを基底にとると 可算無限次元では、おさまらないと そういうことかも 落合 理先生のプリント（pdf）には 答えが書いてなかった ；ｐ） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/654
667: 教天使ociel [sage] 2024/09/15(日) 07:33:45.16 ID:56cB2hja 箱入り無数目とは全く無関係の脱線ですが >>652 >”多項式環 F[x]は、可算無限次元だが、 > 形式的冪級数環は 可算無限次元とは言えない” > みたいなことが書いてあった うん、いわゆる代数基底のことだけど 多項式環の基底全体は可算集合だけど 形式的冪級数環の規定は非可算集合 代数基底の場合、いかなる元も基底の有限和で表せなくてならない つまり、基底の可算和は認めない、ということ 線型空間であって、線形位相空間ではないから >当時、「へー」と思ったのが記憶に残っている >多項式環F[x]の元は、当然多項式に限られる >しかし、形式的冪級数環(>>560)で表現できるのは、多項式のみならず >指数関数、三角関数、有理関数、超越関数などなどあるからなのか >と個人的に納得していた それだと理由になってないので納得したらダメだけど 多項式環の代数基底としては、任意次数の単項式をとることができる しかし、先に述べたように、基底の可算和は認めないから そのままでは、多項式以外のべき級数はまったく生成できない したがって形式的冪級数環の基底として、 多項式でない形式的冪級数を追加するしかないが その数が可算個ではすまない、ということ >>654 >落合 理先生のプリント（pdf）には答えが書いてなかった 形式的冪級数環の基底の存在は選択公理を用いるしかないが 非可算無限個の線型独立な元の具体的構成については考えてみてね 以上 箱入り無数目とは全く無関係の脱線でした http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/667
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