スレタイ箱入り無数目を語る部屋22

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565: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/09/13(金) 20:49:53.63 ID:orDXISBu

>>559-560 補足
(引用開始)
具体例として 指数関数 e^x を 下記マクローリン展開すると 無限級数になります
　級数展開から、可算無限列ができます。”しっぽ同値”：すなわち、あるn+1次より先の項が一致している で
　しっぽ同値の二つの級数 y,y'の差を取ると f(x)= y-y'なる n次多項式ができます（差で n+1次より先の項が消える）
　即ち e^x の”しっぽ同値”類中には、 e^x + f(x) なる関数が含まれることなる（ f(x)は n次多項式）
６）逆に、 e^x の”しっぽ同値”類中の二つの元 y,y'を選ぶと、その差y-y'は なんらかのn次多項式f(x)になります
(引用終り)

・具体例として 指数関数 e^xをとりましたが
　それ以外にも、いろんな原点0に極をもたない関数で
　原点0での級数展開（マクローリン展開）で、可算無限列 a1,a2,・・an,・・ ができる関数があります
・それを、いま簡便にFtr(x)とかくと （tr：Transcendentalの略）
　”しっぽ同値”類は、「ある関数 Ftr(x) ＋多項式環F[x] 」という 構造になります
・従って、代表として Ftr(x) ＋ f(x) (f(x)は k次多項式)
　問題の数列 Ftr(x) ＋ f'(x) (f'(x)は m次多項式)として
　一般性を失わず m < k と仮定して
　決定番号dとは、d=k+1 です（即ち k次より上の次数項から先のしっぽが一致している）

そして、繰り返しますが、多項式環F[x]は 無限次元線形空間（任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つ 都築暢夫）
です
なので、無限次元線形空間から、不作為に二つの元を選んだとき、二つとも ある有限次元以下になるのがおかしいのです
（作為でならば、いくらでも好きな次数の多項式を選ぶことは、可能）
これが、箱入り無数目トリック です
つまり、確率計算には使えない 無限次元線形空間の元の次数を使う 99/100 が、トリックなのです ；ｐ）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E4%B8%80%E8%A6%A7
関数一覧
初等関数
・多項式関数: 多項式は不定元のべきの定数倍と、それらの和のみからなり、不定元への値の代入が関数を定める。べき関数とも呼ばれる。多項式の次数 n により 「n 次関数」のようにも呼ばれる。
・有理関数、指数関数、三角関数、双曲線関数、・・・

ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E9%96%A2%E6%95%B0
超越関数（transcendental function）とは、多項式方程式を満たさない解析関数であり、代数関数と対照的である。言い換えると、超越関数は加算、乗算そして冪根という代数的演算を有限回用いて表せないという意味で代数を「超越」したものである。
超越関数の例として、指数関数、対数関数、そして三角関数が挙げられる[1]。
代数関数と超越関数
超越関数でない関数を代数関数（Algebraic Function）と呼ぶ。代数関数としては、有理関数や平方根関数がある。
逆数関数の不定積分から対数が生じるように、何らかの関数の不定積分によって超越関数が生成されることが多い。

en.wikipedia.org/wiki/List_of_mathematical_functions
List of mathematical functions

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/565

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