スレタイ箱入り無数目を語る部屋22

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559: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/09/13(金) 14:04:48.39 ID:C3yE/qXS

>>543
では続きをば (オチコボレ２人は、ついて これないでしょうがｗ　；ｐ）

１）繰り返し強調するが、決定番号dは単なる自然数ではない！
　空間の次元を意味します
２）先に示した通り 箱5つの場合に、実数  a1,a2,a3,a4,a5 ∈R を入れて
　（a1,a2,a3,a4,a5）を座標と見ると、５次元空間R^5 ←→ 4次多項式 f(x)＝a1+a2x+a3x^2+a4x^3+a5x^4
　と見ることができる
　しっぽ同値：4次元空間 ←→ 3次多項式 決定番号d=5 （しっぽ同値 a5 が一致で、１次元落ちる）
　ここまでは、前回説明した
３）"箱5つ→可算無限の箱で、どうなるのでしょうか？"
　まず、箱n+1個の場合
　n+1次元空間R^(n+1) ←→ n次多項式 f(x)＝a1+a2x+・・+an-1x^n
　しっぽ同値：n次元空間 ←→ n-1次多項式 決定番号d=n+1 （しっぽ同値 an-1 が一致で、１次元落ちる）
　を確認しておこう
４）で、可算無限の箱の場合は（知る人ぞ知るなのだが）
　可算無限列 a1,a2,・・an,・・ ←→ 形式的冪級数（無限次）
　しっぽ同値：可算無限次元空間 ←→ 多項式環 決定番号 可算無限（可算無限次線形空間）
　となります
５）詳しく説明します
　可算無限列 a1,a2,・・an,・・ ←→ 形式的冪級数（無限次）
　の具体例として 指数関数 e^x を 下記マクローリン展開すると 無限級数になります
　級数展開から、可算無限列ができます。”しっぽ同値”：すなわち、あるn+1次より先の項が一致している で
　しっぽ同値の二つの級数 y,y'の差を取ると f(x)= y-y'なる n次多項式ができます（差で n+1次より先の項が消える）
　即ち e^x の”しっぽ同値”類中には、 e^x + f(x) なる関数が含まれることなる（ f(x)は n次多項式）
６）逆に、 e^x の”しっぽ同値”類中の二つの元 y,y'を選ぶと、その差y-y'は なんらかのn次多項式f(x)になります
　二つの元 y,y'による決定番号は、n+1です ＊）
　つまり、「 ”しっぽ同値”類とは、ある関数 e^x ＋多項式環F[x] 」という 構造です
　多項式環F[x]は、無限次元線形空間（任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つ 都築暢夫）（下記）なのです
　まとめると、多項式環F[x]から作為で有限n次元の多項式  f(x)を取り出すことができます（当然）
　しかし、不作為（ランダム）には、多項式環F[x]から 有限n次元の多項式  f(x)を取り出すことはできない（ここ 普通は考えないので 盲点です）
　あたかも、不作為ならば 無限次元の線形空間からは 無限次のベクトルが選ばれるが如しです

よって、この場合に 箱入り無数目トリックとは
無限次元の線形空間をあたかも有限次元線形空間のごとく扱うことによる トリックです
”時枝 箱入り無数目の0-1法則”：
無限次元の線形空間 F[x]＝多項式環 の 元の次数が発散している確率１、有限次が得られる確率０
です
QED
(これ オチコボレ２人には、理解できないでしょうねｗｗ　；ｐ）

注＊）yが e^x ＋k次多項式, y'がe^x ＋m次多項式 として、差y-y'から kとmとの大きい方の次数の多項式ができます。それをnと考えています

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/559

565: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/09/13(金) 20:49:53.63 ID:orDXISBu

>>559-560 補足
(引用開始)
具体例として 指数関数 e^x を 下記マクローリン展開すると 無限級数になります
　級数展開から、可算無限列ができます。”しっぽ同値”：すなわち、あるn+1次より先の項が一致している で
　しっぽ同値の二つの級数 y,y'の差を取ると f(x)= y-y'なる n次多項式ができます（差で n+1次より先の項が消える）
　即ち e^x の”しっぽ同値”類中には、 e^x + f(x) なる関数が含まれることなる（ f(x)は n次多項式）
６）逆に、 e^x の”しっぽ同値”類中の二つの元 y,y'を選ぶと、その差y-y'は なんらかのn次多項式f(x)になります
(引用終り)

・具体例として 指数関数 e^xをとりましたが
　それ以外にも、いろんな原点0に極をもたない関数で
　原点0での級数展開（マクローリン展開）で、可算無限列 a1,a2,・・an,・・ ができる関数があります
・それを、いま簡便にFtr(x)とかくと （tr：Transcendentalの略）
　”しっぽ同値”類は、「ある関数 Ftr(x) ＋多項式環F[x] 」という 構造になります
・従って、代表として Ftr(x) ＋ f(x) (f(x)は k次多項式)
　問題の数列 Ftr(x) ＋ f'(x) (f'(x)は m次多項式)として
　一般性を失わず m < k と仮定して
　決定番号dとは、d=k+1 です（即ち k次より上の次数項から先のしっぽが一致している）

そして、繰り返しますが、多項式環F[x]は 無限次元線形空間（任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つ 都築暢夫）
です
なので、無限次元線形空間から、不作為に二つの元を選んだとき、二つとも ある有限次元以下になるのがおかしいのです
（作為でならば、いくらでも好きな次数の多項式を選ぶことは、可能）
これが、箱入り無数目トリック です
つまり、確率計算には使えない 無限次元線形空間の元の次数を使う 99/100 が、トリックなのです ；ｐ）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0%E4%B8%80%E8%A6%A7
関数一覧
初等関数
・多項式関数: 多項式は不定元のべきの定数倍と、それらの和のみからなり、不定元への値の代入が関数を定める。べき関数とも呼ばれる。多項式の次数 n により 「n 次関数」のようにも呼ばれる。
・有理関数、指数関数、三角関数、双曲線関数、・・・

ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E9%96%A2%E6%95%B0
超越関数（transcendental function）とは、多項式方程式を満たさない解析関数であり、代数関数と対照的である。言い換えると、超越関数は加算、乗算そして冪根という代数的演算を有限回用いて表せないという意味で代数を「超越」したものである。
超越関数の例として、指数関数、対数関数、そして三角関数が挙げられる[1]。
代数関数と超越関数
超越関数でない関数を代数関数（Algebraic Function）と呼ぶ。代数関数としては、有理関数や平方根関数がある。
逆数関数の不定積分から対数が生じるように、何らかの関数の不定積分によって超越関数が生成されることが多い。

en.wikipedia.org/wiki/List_of_mathematical_functions
List of mathematical functions

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/565

670: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/09/15(日) 08:08:12.44 ID:8VnUw5mp

>>662-664
おサルさん(>>14)と 一緒だね
頭が文系だよ

>矛盾は無いので君がドボン

数学において、「矛盾は無い」ということの証明は困難
普通は、矛盾があるということへの反論をして
反論が出尽くしたところで、「矛盾は無い」ということを認めることになるのが普通だ
(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86
ゲーデルの不完全性定理
第二不完全性定理 ―
"初等的な自然数論"を含む理論
Tが無矛盾ならば，
Tの無矛盾性を表す命題
Con(T) がその体系で証明できない。
(引用終り)

>出題は試行である　と　出題は試行でない　の違いは分かったのか？

・試行の数学的定義がないのに
　「出題は試行である　と　出題は試行でない　の違い」を論じ
　ウンヌンカンヌン
　それ 文系あたま

>「さて， 1〜100 のいずれかをランダムに選ぶ. 例えばkが選ばれたとせよ. s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.」

・決定番号の大小比較による確率が、まずい
・>>559に書いたが
　１）可算無限数列R^N を使って、形式的冪級数を作ることができる
　２）しっぽ同値の二つの形式的冪級数の差を作ると
　一致しているしっぽが消えて
　多項式が一つできる
　３）その多項式の次数をnとすると
　決定番号dとは、d=n+1 だね（つまり、n+1の先から一致していた）
　４）任意の多項式は、多項式環R[x]の元（>>560 都築暢夫 広島大」）
　多項式環R[x]は、線形空間であり 任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である（都築）
　５）いま、上記の無限次元線形空間から、100個のベクトルを選び
　その次数を d1<d2<・・<d100だったとしよう
　作為で、d1<d2<・・<d100 となる 100個のベクトルを選ぶことは 容易だ
　しかし、不作為ないし無作為では d1<d2<・・<d100 となる 100個のベクトルを選ぶことは 不可能
　なぜならば、R[x]は無限次元線形空間だから
　あたかも、n次元の線形空間(n>100として
　不作為ないし無作為で
　100個のベクトルを選び、d1<d2<・・<d100 とするが如し
　∵ n次元の線形空間で nより小さい次数の空間は、体積0に潰れている
　同様に、無限次元線形空間から、有限次ベクトルを100個の選ぶことは
　不作為ないし無作為では、できない

箱入り無数目のトリックは、無限次元線形空間から 有限次ベクトルを100個選び
その次数の大小確率を使うところだ

繰り返すが、「無限次元線形空間から、100個の有限次ベクトルを選ぶことは
　不作為ないし無作為では、できない」

作為が入る以上
その確率 99/100は ナンセンス

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/670

706: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/09/15(日) 16:53:45.06 ID:8VnUw5mp

>>703
あなたは、箱入り無数目のR^Nの数学的構造が分っていないね
すでに　>>559-560で説明した通りだが、再度説明する

可算無限数列R^N から、形式的冪級数環（無限次）R[[x]]ができる (記号R[[x]]は、>>560より)
即ち R^N ←→ R[[x]] という対応がとれる
集合としては、一対一だが、R[[x]]には環としての構造が入るので
分かり易い

その一例が、しっぽ同値だ
　>>559では、指数関数 e^x の級数展開（マクローリン展開）から
級数展開の係数をならべて、可算無限数列が構成できることを述べた

e^x+f(x) ここに f(x)はn次多項式
e^x+f(x)とe^xとは、しっぽ同値
つまり、その係数を比較すると、n+1次以降の係数がすべて一致している

f(x)は、多項式環から任意に選べる つまり f(x)∈F[x] (記号F[x]は、>>560都築より)
よって、e^xのしっぽ同値類を、簡便にe^x+F[x]と書こう

同様に、三角関数 sin x を考えると、明らかに e^xとは しっぽ同値ではない（その級数展開から自明）
sin xのしっぽ同値類は、sin x+F[x]と書ける

このように、原点0に極を持たない解析函数(これをT(x)として)の級数展開から、可算無限数列ができて
しっぽ同値は、T(x)+F[x] となる

いま、同値類T(x)+F[x]の元は、T(x)+f(x) (f(x)はn次多項式)であって
しっぽの一致は、n+1次から。よって、この場合の決定番号dは、d=n+1となる

さて、e^xのしっぽ同値類の代表を 簡便にe^xとし、同値類から一つの元 e^x+f(x) で f(x)は k次とする 決定番号d=k+1
同様、sin xのしっぽ同値類の代表を 簡便にsin xとし、同値類から同様にk'次多項式f'(x)のついた元を選び 決定番号d'=k'+1

とできる。これは、作為として、人の意志によってできる
d<d'でも、d=d'でも、d>d'でも、作為として 人の意志によってできる

では、不作為ないし無作為として、決定番号 d,d' を選ぶ行為が可能か？ が問題となる
このときの 障害が、F[x]が無限次元線形空間だということ（>>560都築）です
つまり、無限次元線形空間のF[x]から 如何なる大きな次数kの多項式を選んだとしても、kが有限だから 無限次元空間から有限kを選ぶ行為を
不作為ないし無作為として、正当化することは 不可能！ ということです

これが、箱入り無数目のトリックです
不作為ないし無作為に出来ないことを、確率99/100と誤魔化しています
（数学的には、コルモゴロフの確率公理を満たせない。特に、決定番号に測度の裏付けを与えられない。また 全事象に確率1を与えられません）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/706

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