スレタイ箱入り無数目を語る部屋22

[過去ﾛｸﾞ] スレタイ箱入り無数目を語る部屋22 (1002ﾚｽ)
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543: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/09/12(木) 22:26:15.69 ID:CG5FvQdL

>>481
(引用開始)
不成立と思うなら反例を示してはいかがでしょう。泣き言言っても始まらないよ。
【箱入り無数目反例】
出題列を2列に並べ替えた時の決定番号の組(d1,d2)がどのような自然数の組なら勝率が1/2に満たないか答えよ
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
再度、大学1年でも分るように、説明してみましょうかね
（オチコボレ２人は、ついてこれないでしょうね）

１）>>436で述べたように、
　決定番号は単なる自然数ではない！
　空間の次元を意味します
２）まず、簡単なミニモデルから始める
　箱5つ a1,a2,a3,a4,a5 の数列で、しっぽはa5
　同値類は、a'1,a'2,a'3,a'4,a'5 で a'5=a5 となっていること
　a'4≠a4ならば、5番目のみが一致で決定番号d=5
　a'4＝a4 かつ a'3≠a3ならば、4番目からが一致で決定番号d=4
　など
３）さて、上記で決定番号が次元だということを、分かり易く説明します
　a1,a2,a3,a4,a5 ←→ 多項式f(x)＝a1+a2x+a3x^2+a4x^3+a5x^4
　（5次元空間 ←→ 4次多項式）
　という対応を考えると
　a'1,a'2,a'3,a'4,a'5 ←→ 多項式f'(x)＝a'1+a'2x+a'3x^2+a'4x^3+a'5x^4
　f(x)-f'(x)＝a1-a'1+(a2-a'2)x+(a3-a'3)x^2+(a4-a'4)x^3 （x^4の項はしっぽ同値で消える）
４）なので、決定番号d=5から3次多項式ができて、それは4次元空間を意味します
　つまり、決定番号dは 単なる自然数ではないということです
５）箱5つで 5次元空間 ←→ 4次多項式 ですが
　しっぽ同値：4次元空間 ←→ 3次多項式 決定番号d=5
　同様に、3次元空間 ←→ 2次多項式 決定番号d=4
　2次元空間 ←→ 1次多項式 決定番号d=3
　1次元空間 ←→ 0次多項式(定数項のみ) 決定番号d=2
　0次元空間 ←→ φ(空＊) 決定番号d=1 注＊：全てが一致して差を取ると0
６）さて、この箱5つのミニモデルでは、決定番号の組(d1,d2)を作為で選ぶことはできるが
　しかし、不作為 あるいは ランダムならば、確率1で ”d1=d2=5” です
　すなわち
　『しっぽ同値：4次元空間 ←→ 3次多項式 決定番号d=5』以外は、確率0です
　つまり、4次元空間より下 つまり3次元以下の空間の体積は0に潰れているということ
７）d1=d2=5 の確率1
　d1,d2 ≦4 の確率0
　これを、コルモゴロフの0-1法則をもじって
　”時枝 箱入り無数目の0-1法則”と呼ぶことにします ；ｐ）

ここには、”勝率 1/2”は、登場しない
なので、これは反例です

さて、箱5つ→可算無限の箱で、どうなるのでしょうか？
同じように、時枝 箱入り無数目の0-1法則は成り立ちます！

今後、順次説明します
これ、オチコボレ２人はついてこれないでしょうねｗ ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%AB%E3%83%A2%E3%82%B4%E3%83%AD%E3%83%95%E3%81%AE0-1%E6%B3%95%E5%89%87
コルモゴロフの0-1法則

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/543

559: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/09/13(金) 14:04:48.39 ID:C3yE/qXS

>>543
では続きをば (オチコボレ２人は、ついて これないでしょうがｗ　；ｐ）

１）繰り返し強調するが、決定番号dは単なる自然数ではない！
　空間の次元を意味します
２）先に示した通り 箱5つの場合に、実数  a1,a2,a3,a4,a5 ∈R を入れて
　（a1,a2,a3,a4,a5）を座標と見ると、５次元空間R^5 ←→ 4次多項式 f(x)＝a1+a2x+a3x^2+a4x^3+a5x^4
　と見ることができる
　しっぽ同値：4次元空間 ←→ 3次多項式 決定番号d=5 （しっぽ同値 a5 が一致で、１次元落ちる）
　ここまでは、前回説明した
３）"箱5つ→可算無限の箱で、どうなるのでしょうか？"
　まず、箱n+1個の場合
　n+1次元空間R^(n+1) ←→ n次多項式 f(x)＝a1+a2x+・・+an-1x^n
　しっぽ同値：n次元空間 ←→ n-1次多項式 決定番号d=n+1 （しっぽ同値 an-1 が一致で、１次元落ちる）
　を確認しておこう
４）で、可算無限の箱の場合は（知る人ぞ知るなのだが）
　可算無限列 a1,a2,・・an,・・ ←→ 形式的冪級数（無限次）
　しっぽ同値：可算無限次元空間 ←→ 多項式環 決定番号 可算無限（可算無限次線形空間）
　となります
５）詳しく説明します
　可算無限列 a1,a2,・・an,・・ ←→ 形式的冪級数（無限次）
　の具体例として 指数関数 e^x を 下記マクローリン展開すると 無限級数になります
　級数展開から、可算無限列ができます。”しっぽ同値”：すなわち、あるn+1次より先の項が一致している で
　しっぽ同値の二つの級数 y,y'の差を取ると f(x)= y-y'なる n次多項式ができます（差で n+1次より先の項が消える）
　即ち e^x の”しっぽ同値”類中には、 e^x + f(x) なる関数が含まれることなる（ f(x)は n次多項式）
６）逆に、 e^x の”しっぽ同値”類中の二つの元 y,y'を選ぶと、その差y-y'は なんらかのn次多項式f(x)になります
　二つの元 y,y'による決定番号は、n+1です ＊）
　つまり、「 ”しっぽ同値”類とは、ある関数 e^x ＋多項式環F[x] 」という 構造です
　多項式環F[x]は、無限次元線形空間（任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つ 都築暢夫）（下記）なのです
　まとめると、多項式環F[x]から作為で有限n次元の多項式  f(x)を取り出すことができます（当然）
　しかし、不作為（ランダム）には、多項式環F[x]から 有限n次元の多項式  f(x)を取り出すことはできない（ここ 普通は考えないので 盲点です）
　あたかも、不作為ならば 無限次元の線形空間からは 無限次のベクトルが選ばれるが如しです

よって、この場合に 箱入り無数目トリックとは
無限次元の線形空間をあたかも有限次元線形空間のごとく扱うことによる トリックです
”時枝 箱入り無数目の0-1法則”：
無限次元の線形空間 F[x]＝多項式環 の 元の次数が発散している確率１、有限次が得られる確率０
です
QED
(これ オチコボレ２人には、理解できないでしょうねｗｗ　；ｐ）

注＊）yが e^x ＋k次多項式, y'がe^x ＋m次多項式 として、差y-y'から kとmとの大きい方の次数の多項式ができます。それをnと考えています

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/559

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