スレタイ箱入り無数目を語る部屋22

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141: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/09/03(火) 10:56:00.81 ID:mLLjVVMd

>>133
>dの分布は自然数の分布とは違うぞ

どうもです
さすがの数学板の自治会長こと弥勒菩薩様ですね（＾＾；

ここを、私なりに簡単に説明すると
１）正確には、dの分布は自然数の分布とは違うのですが
　ど素人には、難しいので すそが減衰しない分かり易い分布の例として
　自然数の分布（一様分布の無限版）
　で代用して、説明を簡潔にしています
２）そもそも、確率分布のすそが無限大に伸びるとき
　ある速さで減衰しないと、その和（積分）は発散します
　その境目は、1/x つまり -1乗より早く減衰するかどうか
　例えば、正規分布はすそが指数関数的に早く減衰します
　一方減衰が遅い，裾の厚い分布（裾の重い分布）としてコーシー分布が有名ですね（下記）
３）しかし、自然数の分布（一様分布の無限版）など、全く減衰しないわけですから
　その和（積分）は 当然発散します
４）では、dの分布はどうか
　簡単な考察ですぐ分かることですが（詳細は略す）、dの分布は→∞で（減衰どころか）増大します
　当然、その和（積分）は発散し、コルモゴロフの確率測度における全標本に測度１を与えることはできません！

(参考)
https://mathlandscape.com/cauchy-distrib/
数学の風景
コーシー分布の定義と性質とその証明 2022.04.11
コーシー分布は，期待値が定義できず，正規分布より減衰が遅い，裾の厚い分布（裾の重い分布）として有名です。
略
見ての通り，正規分布に比べて，コーシー分布の方が，
0 から遠いところでの減衰が遅く，裾の厚い分布 (heavy tailed) になっています。これは，正規分布の確率密度関数が指数的に減衰するのに対し，コーシー分布は
x^−2  程度の減衰のため，減衰が遅いわけです。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E6%B8%AC%E5%BA%A6
確率測度
一般の測度の公理（完全加法性など）に加えて、標本空間の測度は 1 であることが公理に加わる[3]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/141

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