スレタイ箱入り無数目を語る部屋22

[過去ﾛｸﾞ] スレタイ箱入り無数目を語る部屋22 (1002ﾚｽ)
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1: １３２人目の素数さん [] 2024/08/30(金) 10:41:18.06 ID:qldKhyXj

前スレが1000近く又は1000超えになったので、新スレを立てる
(”ヘンテコスレ”が別にあります https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1711570726/ 箱入り無数目を語る部屋19 )

https://itest.5ch.net/rio2016/test/read.cgi/math/1723899226/
前スレ スレタイ 箱入り無数目を語る部屋21

(参考)時枝記事
https://imgur.com/a/8bqlb08
数学セミナー201511月号「箱入り無数目」
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/401-406
純粋・応用数学（含むガロア理論）8 より
１．時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^nを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け.
勝つ戦略はあるでしょうか?」

２．続けて時枝はいう
　私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
任意の実数列s に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
つまりsd，sd+1，sd+2,・・・を知ればsの類の代表r は決められる.
更に，何らかの事情によりdが知らされていなくても，あるD>=d についてsD+1， sD+2，sD+3，・・・
が知らされたとするならば，それだけの情報で既に r = r(s)は取り出せ， したがってd= d(s)も決まり，
結局sd (実はsd，sd+1，・・・，sD ごっそり)が決められることに注意しよう.
(補足)
sD+1， sD+2，sD+3，・・・：ここでD+1などは下付添え字

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/1

6: １３２人目の素数さん [] 2024/08/30(金) 10:44:23.31 ID:qldKhyXj

つづき

（完全勝利宣言！ｗ）（＾＾
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1666352731/767 (775の修正を追加済み)
>>701-702 補足説明
　>>760にも書いたが、
”　a)確率上、開けた箱と開けてない箱とは、扱いが違う”>>701
をベースに、時枝記事>>1のトリックを、うまく説明できると思う

１）いま、時枝記事のように
　問題の列を100列に並べる
　1〜100列 のいずれか、k列を選ぶ(1<=k<=100)
　k以外の列を開け、99列の決定番号の最大値をdmax99 とする
　k列は未開封なので、確率変数のままだ
　なので、k列の決定番号をXdkと書く
２）もし、Xdk<=dmax99 となれば、dmax99+1以降の箱を開けて
　k列の属する同値類を知り、代表列を知り、dmax99番目の箱の数を参照して
　その値を問題のk列の箱の数とすれば、勝てる
（∵決定番号の定義より、dmax99番目の箱は、問題のk列とその代表とで一致しているから）
３）しかし、決定番号は、
　自然数N同様に非正則分布>>13だから、これは言えない
　つまり、確率はP(Xdk<=dmax99)=0 とすべきだ
（非正則分布なので、上限なく発散しているので、dmax99<=Xdk となる場合が殆ど）
４）もし、決定番号が、[0,M]（Mは有限の正整数）の一様分布ならば
　dmax99が分かれば、例えば、
　0<=dmax99<=M/2 ならば、勝つ確率は1/2以下
　M/2<=dmax99<=M ならば、勝つ確率は1/2以上
　と推察できて
　それを繰り返せば、大数の法則で、P(Xdk<=dmax99)=99/100が言えるだろう
（注：dmax99は、100列中の99列の最大値なので、P(Xdk<=dmax99)=99/100が正しいだろう）
　しかし、非正則分布では、このような大数の法則は適用できない
５）人は無意識に、決定番号も正則分布のように錯覚して、トリックに嵌まるのです
　しかし、非正則分布では、大数の法則も使えない
　結局、時枝記事の99/100は、だましのトリックってことです

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/6

44: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/08/31(土) 09:11:35.48 ID:wlUH1p3K

>>42-43
>つまり、箱はどれ一つとして確率変数ではなく、どの箱を選ぶかだけが確率変数

下記の重川一郎 2013年度前期 確率論基礎
「確率空間例サイコロ投げの場合
　確率空間として次のものを準備すればよい．」とある通り
　>>7より再録
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/lectures/2013bpr.pdf
2013年度前期 確率論基礎 重川一郎
Ｐ7
確率空間例サイコロ投げの場合
確率空間として次のものを準備すればよい．
Ω＝{1,2,・・・,6}^N∋ω＝{ω1,ω2,・・・}
ωnは1,2,・・・,6のいずれかで，n回目に出た目を表す．
確率はη1,η2,・・・ηnを与えて
P(ω1=η1,ω2=η2,・・・ωn=ηn)＝(1/6)^n
と定めればよい．これが実際にσ-加法的に拡張できることは明らかではないが，Kolmogorovの拡張定理と呼ばれる定理により証明できる．
(引用終り)

>固定されてるのは

"固定"か　>>10より再録
あなた方は、”固定”確率論の論文を書かれたら宜しいかと思います
その論文が出るまで、相手にする必要なし
（なお、時枝氏の記事>>1には、用語”固定”は使われていない！）

＜再投稿＞
固定か
じゃあ
　>>008 2008年東工大 数学 第3問 ”いびつなサイコロ”
　mine-kikaku.co.jp/index.php/2022/10/29/post-9074/
峰企画 2008年東工大 数学第3問20230227
第3問はそれぞれの目の出る確率が同じでない、
イカサマなサイコロに対する確率問題です。問題文は以下のとおりです
いびつなサイコロがあり、1から6までのそれぞれの目が出る確率が とは限らないとする
このサイコロを2回ふったとき同じ目が出る確率をPとし、1回目に奇数、2回目に偶数の目が出る確率をQとする
(1) P≧1/6であることを示せ。また、等号が成立するための必要十分条件を求めよ
(引用終り)

を解いてみな
解けたら、あんたの主張を認めてやるさ ；ｐ）

１回目に、出目で３が出たとする
”出目３”固定だね
いいよ、固定でｗ・・

で？ どうするの？ その後どうするの？

あなたの”固定”は、2008年東工大 数学 第3問 ”いびつなサイコロ”の確率問題に対し 無力ですよ！

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/44

258: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/09/07(土) 07:55:08.23 ID:YapNbdQQ

>>251
>箱入り無数目において出題が試行であるなら、100列のいずれが単独最大決定番号を持つか（も>しくはいずれも持たないか）は試行毎に変わります。
>一方記事の確率計算は試行毎に変わらない前提です。（⇒注）
>そのため出題は試行ではありません。

数学的陳述になっていない文章ですね
　>>1より再録
(引用開始)
　私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).

〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
任意の実数列s に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
(引用終り)

１）従って、"d = d(s)"とあるが、決定番号dは sのみでは決まらない！
２）詳しく説明すると、sの属する同値類を下記にならい[s]と書く
　同値類[s]の代表r= r(s)が（何らかの手段(選択公理など)で）決まるので
　d ：= d(s,r) つまり、sとrの二つの要素によって決定番号dが決まる
３）d ：= d(s,r) は、sとrの二つの変数による関数、つまり２変数関数
　（くどいが sとrは、実数の可算無限個から成る数列で sとrを変数とみています）

繰り返すが、d ：= d(s,r) で sは出題者が与える。一方 rは、回答者が与えても良い（選択公理は存在のみ の保証なので具体的なrは一意ではない）

数学的にはかくの如し
あなたは、”試行毎に うんぬんかんぬん”という文学的表現で
ゴマカシしている
d ：= d(s,r)なので、sとrが具体的に決まらないと dは決まらない

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%A1%9E
同値類
記法と定義
元 a の同値類は [a] と書き，a と ∼ によって関係づけられる元全体の集合
[a]={x∈X∣a〜x}
として定義される．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/258

791: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/09/16(月) 16:49:05.40 ID:imNksm7d

>>789-790
まず、”試行”について、上記 金沢工業大学の「試行」の用語説明 で、お互い納得でいいですね

>１つのゲームに関して出題は１通り、という設定は可能かつ自然と考えますが如何ですか？

１つのゲームとは、>>1のとおりで
　”可算無限個ある.箱それぞれに，私（例えば時枝）が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由”
　そして”今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け.”
　これを、回答者が実行して ある箱を残して その箱の数を予測して 箱を開けて 勝ちか負けか
ここまでを、１つのゲームだということですね

そうすると、明らかに １つのゲームに対して 一つの出題が対応します
その一つの出題については、最終的には全部箱が開けられて、出題の数列は 回答者の知るところになる

>そこで無理やり確率の問題にしようと箱に数を入れるのも試行とすると「別問題」になってしまう

無理やり では、ないですね
そもそも、箱に入れる数は 確率事象を使う場合と 使わない場合に分けることができます

「例えばn番目の箱にe^nを入れてもよい」>>1 とある。これは、確率事象を使わない場合です
この場合、n番目の箱にe^nを残して、他を開ける。そうすると、指数関数を使っていることが分る。ならば、n番目の箱はe^nと推測できる

さて、「もちろんでたらめだって構わない」の部分が、確率事象を使う場合と解せられます
このことは、箱入り無数目に先行する 英文情報があります

テンプレの>>4 mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice
asked Dec 9 '13 at 16:16 Denis

及び
www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf
Sergiu Hart Choice Games November 4, 2013 ですね

数学セミナー201511月号ですから、2013年だと2年早いのです

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/791

797: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/09/16(月) 17:51:04.41 ID:imNksm7d

>>792
>>まず、”試行”について、金沢工業大学の「試行」の用語説明 で、お互い納得でいいですね
>　確認するのはそこではないと思いますが

いいえ
まず、金沢工業大学の「試行」の用語説明について、世間の確率論の「試行」は
この説明だということを、受け入れて下さいね
その上で、おれさま「試行」を定義することは、あなたの自由です

>>793
>この文章では、何が試行で何がそうでないかについて何も回答してないことがわかりますか

省かれている用語「試行」は、いわゆるデフォルトであって
省かれていることは、標準に従うってことです

>>ならば、n番目の箱はe^nと推測できる
>なぜわかるのでしょうか？
>わかるのではなく、そう思い込むだけでしょう
>たまたま一箱だけ違う値を入れてしまう可能性は否定できませんね

文学あたまですね
”推測できる”と書きました
”わかる”とは書かなかった
それが回答の全てです

>>「もちろんでたらめだって構わない」
>>が確率事象を使う場合と解せられます

単純な話で、テンプレ>>7 重川一郎 2013年度前期 確率論基礎 にあるとおりで
サイコロ投げの可算無限回の例がしめされています（大学レベルの確率論テキストなら たいてい書いてあります）
サイコロ投げの可算無限回による出た目を書いた紙を、箱に入れる
「どうぞ その箱の数を当てて下さい。一つだけ残して、他の箱を開けて結構です」
これで、>>1の箱入り無数目の条件を満たします
これで、確率現象を使う例を示しました

>>795
>もし決定番号が自然数の値をとらないなら矛盾しますから

決定番号dは単なる自然数ではなく
多項式環F[x] から一つ選んだn次多項式f(x)の次数を使って d=n+1と表されることは
　>>599に示しています
「多項式環F[x]. F[x]nは1,x,··· ,xnを基底に持つn+1次元線形空間である。
F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である」(>>560 都築暢夫 広島大)

まあ、数学科のオチコボレさんには、理解できないでしょうねｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/797

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