スレタイ箱入り無数目を語る部屋22

[過去ﾛｸﾞ] スレタイ箱入り無数目を語る部屋22 (1002ﾚｽ)
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559: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/09/13(金) 14:04:48.39 ID:C3yE/qXS

>>543
では続きをば (オチコボレ２人は、ついて これないでしょうがｗ　；ｐ）

１）繰り返し強調するが、決定番号dは単なる自然数ではない！
　空間の次元を意味します
２）先に示した通り 箱5つの場合に、実数  a1,a2,a3,a4,a5 ∈R を入れて
　（a1,a2,a3,a4,a5）を座標と見ると、５次元空間R^5 ←→ 4次多項式 f(x)＝a1+a2x+a3x^2+a4x^3+a5x^4
　と見ることができる
　しっぽ同値：4次元空間 ←→ 3次多項式 決定番号d=5 （しっぽ同値 a5 が一致で、１次元落ちる）
　ここまでは、前回説明した
３）"箱5つ→可算無限の箱で、どうなるのでしょうか？"
　まず、箱n+1個の場合
　n+1次元空間R^(n+1) ←→ n次多項式 f(x)＝a1+a2x+・・+an-1x^n
　しっぽ同値：n次元空間 ←→ n-1次多項式 決定番号d=n+1 （しっぽ同値 an-1 が一致で、１次元落ちる）
　を確認しておこう
４）で、可算無限の箱の場合は（知る人ぞ知るなのだが）
　可算無限列 a1,a2,・・an,・・ ←→ 形式的冪級数（無限次）
　しっぽ同値：可算無限次元空間 ←→ 多項式環 決定番号 可算無限（可算無限次線形空間）
　となります
５）詳しく説明します
　可算無限列 a1,a2,・・an,・・ ←→ 形式的冪級数（無限次）
　の具体例として 指数関数 e^x を 下記マクローリン展開すると 無限級数になります
　級数展開から、可算無限列ができます。”しっぽ同値”：すなわち、あるn+1次より先の項が一致している で
　しっぽ同値の二つの級数 y,y'の差を取ると f(x)= y-y'なる n次多項式ができます（差で n+1次より先の項が消える）
　即ち e^x の”しっぽ同値”類中には、 e^x + f(x) なる関数が含まれることなる（ f(x)は n次多項式）
６）逆に、 e^x の”しっぽ同値”類中の二つの元 y,y'を選ぶと、その差y-y'は なんらかのn次多項式f(x)になります
　二つの元 y,y'による決定番号は、n+1です ＊）
　つまり、「 ”しっぽ同値”類とは、ある関数 e^x ＋多項式環F[x] 」という 構造です
　多項式環F[x]は、無限次元線形空間（任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つ 都築暢夫）（下記）なのです
　まとめると、多項式環F[x]から作為で有限n次元の多項式  f(x)を取り出すことができます（当然）
　しかし、不作為（ランダム）には、多項式環F[x]から 有限n次元の多項式  f(x)を取り出すことはできない（ここ 普通は考えないので 盲点です）
　あたかも、不作為ならば 無限次元の線形空間からは 無限次のベクトルが選ばれるが如しです

よって、この場合に 箱入り無数目トリックとは
無限次元の線形空間をあたかも有限次元線形空間のごとく扱うことによる トリックです
”時枝 箱入り無数目の0-1法則”：
無限次元の線形空間 F[x]＝多項式環 の 元の次数が発散している確率１、有限次が得られる確率０
です
QED
(これ オチコボレ２人には、理解できないでしょうねｗｗ　；ｐ）

注＊）yが e^x ＋k次多項式, y'がe^x ＋m次多項式 として、差y-y'から kとmとの大きい方の次数の多項式ができます。それをnと考えています

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/559

560: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/09/13(金) 14:05:16.71 ID:C3yE/qXS

つづき

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
（形式的）多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい
形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
多項式環
注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと —つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零であるということ— は、暗黙の了解である。多項式の次数とは X k の係数が零でないような最大の k のことである。
体 K に係数を持つ多項式全体の成す集合は可換環を成し、K[X] で表して、K 上の多項式環 (ring of polynomials over K) と呼ぶ。記号 X は普通「変数」と呼び

https://manabitimes.jp/math/1161
高校数学の美しい物語 2024/07/01
e^xのマクローリン展開，三角関数との関係
指数関数のマクローリン展開
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+・・

http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/files/tsuzuki/04-21.pdf
代数学I (第2回)都築暢夫 広島大
F を体とする。
P3
例3.2.多項式環F[x]. F[x]nは1,x,··· ,xnを基底に持つn+1次元線形空間である。
F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である。

証明. 1,x,··· ,xnがF[x]nの基底になること: 1,x,··· ,xnがF[x]nを生成することは明らか。
a0,··· ,an∈Fに対してa0+a1x+···+anxn=0とするとき、a0=a1=···an=0となることをnに関する帰納法で証明する。
n=0のときは明らか。n−1まで成り立つとする。x=0とすると、a0=0である。
(a1+ a2x+···+anxn−1)x=0より、a1+a2x+···+anxn−1=0である。
帰納法の仮定から、a1=···an=0となる。よって、1,x,··· ,xnは一次独立である。
したがって、1,x,··· ,xnはF[x]nの基底になる。□

https://researchmap.jp/read0140796/research_experience
都築 暢夫
2008年4月 - 現在東北大学, 大学院理学研究科 数学専攻, 教授
2005年4月 - 2008年3月広島大学, 大学院理学研究科 数学専攻, 教授
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/560

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