スレタイ箱入り無数目を語る部屋22

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560: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/09/13(金) 14:05:16.71 ID:C3yE/qXS

つづき

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
（形式的）多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい
形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
多項式環
注意すべき点として、多項式には項が有限個しかないこと —つまり十分大きな k（ここでは k > m）に関する係数 pk がすべて零であるということ— は、暗黙の了解である。多項式の次数とは X k の係数が零でないような最大の k のことである。
体 K に係数を持つ多項式全体の成す集合は可換環を成し、K[X] で表して、K 上の多項式環 (ring of polynomials over K) と呼ぶ。記号 X は普通「変数」と呼び

https://manabitimes.jp/math/1161
高校数学の美しい物語 2024/07/01
e^xのマクローリン展開，三角関数との関係
指数関数のマクローリン展開
e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+・・

http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/files/tsuzuki/04-21.pdf
代数学I (第2回)都築暢夫 広島大
F を体とする。
P3
例3.2.多項式環F[x]. F[x]nは1,x,··· ,xnを基底に持つn+1次元線形空間である。
F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である。

証明. 1,x,··· ,xnがF[x]nの基底になること: 1,x,··· ,xnがF[x]nを生成することは明らか。
a0,··· ,an∈Fに対してa0+a1x+···+anxn=0とするとき、a0=a1=···an=0となることをnに関する帰納法で証明する。
n=0のときは明らか。n−1まで成り立つとする。x=0とすると、a0=0である。
(a1+ a2x+···+anxn−1)x=0より、a1+a2x+···+anxn−1=0である。
帰納法の仮定から、a1=···an=0となる。よって、1,x,··· ,xnは一次独立である。
したがって、1,x,··· ,xnはF[x]nの基底になる。□

https://researchmap.jp/read0140796/research_experience
都築 暢夫
2008年4月 - 現在東北大学, 大学院理学研究科 数学専攻, 教授
2005年4月 - 2008年3月広島大学, 大学院理学研究科 数学専攻, 教授
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/560

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