スレタイ箱入り無数目を語る部屋22

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986: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/09/21(土) 22:09:42.35 ID:UH10GdZ2

>>827 補足
(引用開始)
みんながよく知っているように、空間には計量が入れられるものと 入れられない場合とがある
可算無限数列R^Nや しっぽ同値はどうか？
よく知っているように、ここには計量が入らない
そういう対象には、確率測度は入らない
(引用終り)

・ここでいう 計量は、主にhypervolumeを考えています。
・他の計量として、内積（Inner product）が考えられますが、内積は確率測度とは直接は結びつきません
・可算無限数列R^Nは、内積（Inner product）を入れると ヒルベルト空間になると言われています
・しっぽ同値の空間は、”F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つ無限次元”（都築暢夫 広島大 www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/files/tsuzuki/04-21.pdf）
　と考えると、内積（Inner product）は考えられます
・しかし、体積については、常にあるn次より大きい次元の部分空間を持つので、n次の体積は0です

(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Inner_product_space
Inner product space

ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93
ヒルベルト空間
ヒルベルト空間は、内積の構造を備えた抽象ベクトル空間（内積空間）になっており、そこでは角度や長さを測るということが可能である。ヒルベルト空間は、さらに完備距離空間の構造を備えている（極限が十分に存在することが保証されている）ので、その中で微分積分学がきちんと展開できる。
古典的なユークリッド空間はさておき、ヒルベルト空間の例としては、
自乗可積分関数の空間 L^2、
自乗総和可能数列の空間 ℓ^2、
超関数からなるソボレフ空間 H^s、
正則関数の成すハーディ空間 H^2などが
挙げられる。

en.wikipedia.org/wiki/Volume
Volume
Zero-, one- and two-dimensional objects have no volume; in four and higher dimensions, an analogous concept to the normal volume is the hypervolume.

en.wikipedia.org/wiki/Volume_of_an_n-ball
n球の体積

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1724982078/986

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