スレタイ箱入り無数目を語る部屋21

[過去ﾛｸﾞ] スレタイ箱入り無数目を語る部屋21 (1002ﾚｽ)
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2: １３２人目の素数さん [] 2024/08/17(土) 21:54:13.11 ID:rgCy0hC2

つづき

３．
問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる.
箱の中身は私たちに知らされていないが， とにかく第l列の箱たち，第2列の箱たち第100 列の箱たちは100本の実数列s^1,s^2，・・・，s^100を成す(肩に乗せたのは指数ではなく添字).
これらの列はおのおの決定番号をもつ.
さて， 1〜100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
　第1列〜第(k-1) 列，第(k+1)列〜第100列の箱を全部開ける.
第k列の箱たちはまだ閉じたままにしておく.
開けた箱に入った実数を見て，代表の袋をさぐり， s^1〜s^(k-l),s^(k+l)〜s^100の決定番号のうちの最大値Dを書き下す.
　いよいよ第k列 の(D+1) 番目から先の箱だけを開ける：s^k(D+l)， s^k(D+2)，s^k(D+3)，・・・.いま
　D >= d(s^k)
を仮定しよう.この仮定が正しい確率は99/100，そして仮定が正しいばあい，上の注意によってs^k(d)が決められるのであった.
おさらいすると，仮定のもと， s^k(D+1)，s^k(D+2)，s^k(D+3)，・・・を見て代表r＝r(s^k) が取り出せるので
(代表)列r のD番目の実数rDを見て， 「第k列のD番目の箱に入った実数はs^k(D)＝rDと賭ければ，めでたく確率99/100で勝てる.
確率1-ε で勝てることも明らかであろう.
(補足)
s^k(D+l)， s^k(D+2)，s^k(D+3)，・・・, rD：ここで^kは上付き添え字、(D+l), Dなどは下付添え字

さらに、数学セミナー201511月号P37 時枝記事に、次の一文がある
「R^N/〜 の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.
その結果R^N →R^N/〜 の切断は非可測になる.
ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」

さらに、過去スレでは引用しなかったが、続いて下記も引用する
「逆に非可測な集合をこさえるには選択公理が要る(ソロヴェイ， 1970年)から，この戦略はふしぎどころか標準的とさえいえるかもしれない.
しかし，選択公理や非可測集合を経由したからお手つき， と片付けるのは，面白くないように思う.
現代数学の形式内では確率は測度論によって解釈されるゆえ，測度論は確率の基礎， と数学者は信じがちだ.
だが，測度論的解釈がカノニカル， という証拠はないのだし，そもそも形式すなわち基礎， というのも早計だろう.
確率は数学を越えて広がる生き物なのである(数学に飼いならされた部分が最も御しやすいけれど).」

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1723899226/2

9: １３２人目の素数さん [] 2024/08/17(土) 22:00:47.15 ID:rgCy0hC2

つづき
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1717503315/747
１）まず 選択公理の使用は、測度論の裏付けの保証がない
　よって、選択公理を使用した確率99/100に測度の裏付けがあるかどうかは
　十分注意すべきで、実際 箱入り無数には、測度の裏付けがないのです！
２）実際、このことは小学生でもわかることだが
　いま、簡単に有限n個の箱の列から始めよう(詳しくはテンプレ>>1-8ご参照)
　箱には、任意の実数r∈Rが入るが、いま簡単に有限区間 r∈[0,1]の任意実数を入れる
　箱入り無数同様にしっぽ同値類と決定番号を考える
　有限n個の箱の列が100列あり、それらの決定番号がd1,・・,d100 とする(各diで1≦di≦nである(i=1〜100))
　問題列 Si = (si1，si2，si3，・・，sin) とし
　代表列 Ri = (ri1，ri2，ri3，・・，rin) とする
　とすると、この二つの列は 決定番号の定義より di以降n番目までの箱の中の数が一致していることになる
３）箱入り無数は、決定番号がd1,・・,d100 の大小関係から
　diが最大値 dmax=max(d1,・・,d100) である確率は 1/100であるから
（いま簡便に、1≦di＜nと仮定する）
　diの推定値d'iを知って、d'i+1番目以降の箱を開けて、同値類を特定し 代表列 Riのridiを知り
　それをもって 『ridi＝sidi』と唱えることで、確率99/100以上で箱の数が的中できるという
（注：推定値d'i=max(d1,・・,di-1,di+1,・・,d100)　つまり、di以外の最大値。詳しくは>>2ご参照）
４）問題は、区間 r∈[0,1]の任意実数を入れて
　しっぽ同値類で、n番目の箱の数の一致を得たときに
　その一つ前のn-1番目の箱の一致の確率が0になることだ
　つまり、決定番号 d1,・・,d100 の大小関係を考えるというのが、全くの架空のおとぎ話になるのです
　しっぽ n番目の箱の数の一致が分かっても、代表のn-1番目と 問題の列のn-1番目とが一致する確率0
５）さて、上記は 簡単に有限n個の箱の列で論じて
　決定番号 d1,・・,d100 の大小関係を考えるというのが、全くの架空のおとぎ話だということを立証した
６）では、n→∞のときはどうか？
　普通に考えて、上記２）〜４）の類似問題が存在する
　百歩譲っても、箱入り無数目にきちんとした
　測度論の裏付けのある数学的な議論になっていないことは
　明らかです*) ；ｐ）
（注*：n→∞のとき、決定番号dは上限無く発散して、非正則分布を成す（>>7ご参照）
　非正則分布では平均も標準偏差も発散するので、例えば非正則分布からランダムに取った二つの数d1,d2
　の大小確率 P(d1>d2)=1/2 は、正当な確率計算になりません！ これが、箱入り無数目トリックです）
よって、『箱入り無数目＝与太話』に同意です！！ ；ｐ）
以上
つづき

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1723899226/9

656: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/08/23(金) 23:02:10.61 ID:Ykg/fG6S

>>654
>君の例では、決定番号が最大となる列は10個ある
>つまり、どの99個を選んでも必ず決定番号が最大となるものが含まれる
>したがって、箱入り無数目による的中確率は・・・1

・おお、確かにね >>2より
『いよいよ第k列 の(D+1) 番目から先の箱だけを開ける：s^k(D+l)， s^k(D+2)，s^k(D+3)，・・・.いま
　D >= d(s^k)
　を仮定しよう.この仮定が正しい確率は99/100，そして仮定が正しいばあい，　上の注意によってs^k(d)が決められるのであった.』
　だったね ；ｐ）
・だがしかし、”的中確率は・・・1”が変だ
　どう変か？
　>>652で構成した列は、10個の実数r0,r1,r2・・r9∈R
　しか使っていない
　一方、箱入り無数目>>2 においては
　『きびしい同値関係を使う.
　実数列の集合 R^Nを考える.
　s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).』
　だったね
・10個の実数しか使っていないのに
　わざわざ 全実数Rに範囲を広げた同値類で
　どの代表にも、選んだ10個の実数以外の実数（それは連続無限濃度ある）
　が、含まれている
　そうやって、問題を面倒にしたあげく
　やっぱり、選んだ10個の実数 r0,r1,r2・・r9∈R に戻ってくるの？
・普通は、いまの場合、一つの箱を残して、他の箱を開ければ
　問題の>>652で構成した列の規則が分り、10個の実数が使われていないという規則が分り
　r0,r1,r2・・r9の順に繰り返されているということが分る
　その規則から、未開封の一つの箱が ri ∈{r0,r1,r2・・r9} の推測がつく
　この推測が正しいかどうかは、開けてみないと分らない
　こちらが、真っ当なやり方じゃないですかね？

”箱入り無数目”の手法だと、「的中確率は・・・1」なんだｗ ；ｐ）
やっぱり、おかしいね
（その原因は、やはり 決定番号の分布のトリックだな）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1723899226/656

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