スレタイ箱入り無数目を語る部屋21

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24: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/08/18(日) 08:59:33.41 ID:dAEsXUtp

>>19
>ソロヴェイの定理は関係ない。
>むしろソロヴェイモデルは選択公理を否定するが、それ分かってる？

ド素人が、何を喚くｗ （まあ、おれも素人だがｗ）
下記の ソロヴェイモデル、従属選択公理 （wikipedia）百回音読してねｗ ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BD%E3%83%AD%E3%83%B4%E3%82%A7%E3%82%A4%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB
ソロヴェイモデル
ソロヴェイモデルはロバート M. ソロヴェイ (1970)によって構成されたモデルでツェルメロ＝フレンケル集合論 (ZF) の全ての公理が成り立ち、選択公理を除去し、実数の集合が全てルベーグ可測であるようにしたものである。この構成は到達不能基数の存在に依拠している。

これによってソロヴェイはルベーグ不可測集合の存在をZFC (ZF+選択公理) から証明するには、少なくとも到達不能基数の存在がZFCと矛盾しない限り、選択公理が本質的に必要であることを示した。

ステートメント
DC は従属選択公理の略記とする。
ソロヴェイの定理は次のことである。 到達不能基数の存在を仮定する。このとき、適切な強制拡大 V[G] の ZF+DC の内部モデルであって、実数のいかなる集合も全て、ルベーグ可測であって perfect set property を満たしベールの性質を満たすというモデルがある。

補足
最終的に、Shelah (1984) では到達不能基数の無矛盾性が、実数集合が全てルベーグ可測であるモデルの構成に必要であることが示された。もっと正確には、（略す）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%93%E5%B1%9E%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
従属選択公理
従属選択公理(英語: axiom of dependent choice; DCと略される)とは、選択公理(ACの弱い形で、しかし実解析の大部分を行うのに十分な公理である。これはパウル・ベルナイスによって1942年の、解析学を実行するのに必要な集合論的公理を検討する逆数学の論文で導入された。[a]
同値な命題
ツェルメロ＝フレンケル集合論
ZF において、
DC は完備距離空間のベールのカテゴリー定理と同値である。[1]
また、ZF 上でレーヴェンハイム–スコーレムの定理と同値でもある。[b][2]
DCは
ZF 上で高さ
ω の pruned tree には枝があるということとも同値である。
さらに、
DC はツォルンの補題の弱い形と同値である; 具体的には
DC は全ての整列された鎖が有限で有界であるような半順序は必ず極大元を持つという命題と同値である。[3]

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1723899226/24

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