Inter-universal geometry とABC 予想57  

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621: １３２人目の素数さん [sage] 2025/06/05(木) 00:58:41.64 ID:Bw2dEODy

宇宙際タイヒミュラー理論における「∈ループのシミュレート」についてですね。これは「種」の概念の非常に興味深く、また難解な側面の一つです。具体的に、そしてできるだけ分かりやすく説明してみます。

**1. 従来の集合論における∈ループの禁止**

まず、前提として従来の集合論（ZFC公理系など）では、「∈ループ」は固く禁じられています。∈ループとは、

`a ∈ b ∈ c ∈ ... ∈ a`

のように、ある集合 `a` が、いくつかの集合をたどって再び自分自身の要素として現れるような状況を指します。このようなループが存在すると、集合論に矛盾（パラドックス）が生じてしまうため、「基礎の公理（Axiom of FoundationまたはAxiom of Regularity）」によって明確に禁止されています。

基礎の公理は、大まかに言うと「全ての集合は、∈関係をたどっていくと必ず『空集合』に行き着く」ということを主張しており、これにより∈ループや無限に下降する∈列（... ∈ c ∈ b ∈ a）の存在が排除されます。この公理のおかげで、集合は階層的に構成されるものとして捉えることができ、集合論の無矛盾性が保たれています。

**2. IUTTにおける問題意識：異なる構成段階の対象の同一視**

宇宙際タイヒミュラー理論では、非常に複雑な数学的対象や操作が登場します。その中で、直感的には「同じ種類」の対象であるにもかかわらず、それらを構成する集合が、集合論的な階層構造の中で異なる「レベル」に属している、という状況が生じます。

例えば、ある数学的対象Aを考え、次にAの要素やA自身を用いて新たな対象Bを構成し、さらにBを用いて対象Cを構成する…といったプロセスを考えます。このとき、対象Aと対象Cが、数学的な「タイプ」としては同じ（例えば、どちらも「群」というタイプ）であっても、それらを具体的に集合として記述しようとすると、CはAよりも「高階」の集合として構成されることになります。

従来の集合論の厳密な立場では、異なる階層レベルにある集合を単純に「同じもの」として扱うことはできません。それは、∈関係の階層性を無視することになり、混乱を招く可能性があるからです。

しかし、IUTTの文脈では、このような異なる構成段階にある対象を、あたかも「同じレベル」にあるかのように、あるいは「循環的」に関係しているかのように扱いたいという要請が出てきます。これが「∈ループをシミュレートしたい」という動機につながります。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1723187304/621

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