[過去ﾛｸﾞ] dy/dxは分数なのか？ (98ﾚｽ)
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17: 2024/08/02(金)13:03 ID:oMdiDCB6(1/3) AAS
dx, dyにはそれぞれきちんと数（関数）としての意味がある。
そして、導関数dy/dxは、まぎれもなくdx, dyの分数になる。
例として、X := R^2と、X内の曲線C: y = f(x)を考える。
fは微分可能とする。
p = (x0, y0)∈C⊂Rとする。
このようなpを取るごとに、Xの「接平面」が存在する。それをTpXと書く。
TpXはR^2に同型であり、pを原点とするベクトル空間の構造を持つ。その双対空間をT*pXと書く。
省3
18: 2024/08/02(金)13:31 ID:oMdiDCB6(2/3) AAS
ポイントは
(A-1) R^2内の平面としてのTpX
(A-2) 内在的なTpX
(B-1) (A-1)の双対空間としてのT*pX
(B-2) (A-2)の双対空間としてのT*pX
の対応を理解することである。
まずは、(A-1)から見ていく。
省21
19: 2024/08/02(金)13:46 ID:oMdiDCB6(3/3) AAS
X上のdx, dyに関する解釈はできた。
あとは、これを包含写像i: C → XによってCに引き戻せばよい。
多様体論では、多様体の間の射f: M → Nがあると、
各p∈Mに対して、接空間の間の線形写像f_*: TpM → Tf(p)N
および、余接空間の間の線形写像f^*: T*f(p)N → T*pMが定まるのだった。
今、XやCはすべてR^2の中に実現できているから、これらの意味は簡単である。
(A-1), (B-1)の意味で考える。
省11
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