ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ10

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5: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/07/17(水) 11:39:58.73 ID:co5bAWaW

つづき

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H18-tamagawa.pdf
数学入門公開講座テキスト(京都大学数理解析研究所，平成18年)
ガロア理論とその発展 玉川安騎男

環の典型的な現れ方として、与えられた空間Xの上の（適当な条件を満たす）関数全体のなす環があります。この場合、関数の値の和、差、積を考えることにより、関数の和、差、積を定義します。（1,0は、それぞれ恒等的に値1,0を取る関数として定義します。）
実は、任意の環はこのようにして得られることが知られています。
より正確に言うと、与えられた環Rに対し、アフィンスキームと呼ばれるある種の空間Spec(R)が定まり、Rは空間Spec(R) 上の正則関数全体のなす環と自然に同一視されます。更に、環を考えることとアフィンスキームを考えることは本質的に同等であることが知られています。一般のスキームは、アフィンスキームをはり合わせることにより定義されます。
１９５０年代後半にグロタンディークによって定義されたこのスキームは、代数多様体（≈多項式で定義される図形）の概念を大きく一般化するもので、現在の代数幾何学・数論幾何学の基礎をなす概念です。

グロタンディークの提唱した形での遠アーベル幾何は、遠アーベルスキームの一般的な定義が見つかっていないなど、理論的にはまだまだ発展途上の状態ですが、既にいくつもの重要な結果が得られています。例えば、ノイキルヒ・内田の定理は、（グロタンディークが遠アーベル幾何を提唱する以前の結果ですが）遠アーベル幾何における一つの基本的な結果となっています。また、近年では、代数曲線やそのモジュライ空間の遠アーベル幾何の研究が、（本研究所を中心に）さまざまな角度から進められ、興味深い結果がいくつも得られています。このように、１９世紀前半に生まれたガロア理論は、現代もなお強い生命力を持って進化しています。

https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/34/1/34_1_1/_pdf/-char/en
論説 数学 (1981年9月14日提出)*1981年4月5日京都大学における第9回日本数学会彌永賞受賞講演
ソリトン方程式とKac-Moodyリー環 柏原 正樹*神保 道夫 伊達 悦朗 三輪 哲二
§1.序
代数方程式の研究に,解の変換群の概念を導入し,その有効性を示したのはGaloisである.こ
のGaloisの視点を,微分方程式に適用する試みの中から,リー群,リー環の概念は生まれた.線
型微分方程式を,この立場で研究するものとして,Picard-Vessiot理論があり,そこに現われる群
は,有限次元Lie群である.有限次元半単純リー環の研究における, Cartan行列を基礎におく理
論構成を一般化して,Kac-Moobyリー環と呼ばれる,無限次元リー環の概念が生まれた([IY 38],
[IY 68],[40])1).ほぼ同じ頃,ソリトン理論が,その姿を現わしつつあった.ソリトン理論にあら
われる非線型方程式(以下,ソリトン方程式と呼ぶ)は,線型方程式系の可積分条件として表わされ
るという側面をもつ.本稿では,ソリトン方程式の解の変換群を考察し,ある種のソリトン方程式
の変換群のリー環として,Euclid型リー環と呼ばれるKac-Moodyリー環が現われることを示す.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721183883/5

574: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/08/21(水) 22:05:53.96 ID:pCD9wAXz

>>556
>固有値問題の数値解法
>ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%BA%E6%9C%89%E5%80%A4%E5%95%8F%E9%A1%8C%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%80%A4%E8%A7%A3%E6%B3%95
>数値解法の必要性
>5次以上の一般の（実数あるいは複素数の）行列において、
>有限回の代数的操作（四則及び冪根を開く）によって
>固有値を厳密に表わす計算手順は存在しない。
>そのため固有値問題の数値解法には必ず反復法を用いることになる。

ふっふ、ほっほ
数学科でオチコボレ 社会の底辺になった おサルさん>>9
数学板で えせウンチクを語るかｗ　；ｐ）
また滑ったね、おサルさん

・そこな、ja.wikipediaを鵜呑みにしては行けないよ
・必ず en.wikipediaを見ること（言語のリンクがある）
・ en.wikipediaを見ると 下記
　『次元 2 から 4 の場合、根号を含む式が存在し、これを使用して固有値を求めることができます。2×2 および 3×3 行列では一般的な方法ですが、4×4 行列の場合は根号式の複雑さが増すため、このアプローチはあまり魅力的ではありません。』
　とある
・つまり、上記 ja.wikipedia の『そのため』が、ロジック繋がってない
・さらに、『厳密に』が 過剰な文学表現だし（”厳密”のゲンミツな数学的な定義がないぞｗｗ）
・例えば、5次方程式の楕円関数を使う解法は有名だし、6次以上も四則及び冪根に拘らないならば 解の公式は存在する
　だが、上記 4×4 行列の場合と同様、”このアプローチはあまり魅力的ではありません”が正解なのだ

おサルさん またまた馬脚を露すの巻！（形容矛盾だが>>546 ；ｐ）

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalue_algorithm
Eigenvalue algorithm
Direct calculation
2×2 matrices
For dimensions 2 through 4, formulas involving radicals exist that can be used to find the eigenvalues. While a common practice for 2×2 and 3×3 matrices, for 4×4 matrices the increasing complexity of the root formulas makes this approach less attractive.
(google訳)
次元 2 から 4 の場合、根号を含む式が存在し、これを使用して固有値を求めることができます。2×2 および 3×3 行列では一般的な方法ですが、4×4 行列の場合は根号式の複雑さが増すため、このアプローチはあまり魅力的ではありません。

（なお、Eigenvalues and eigenvectors の応用範囲は広いぞｗ ）
https://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors
Eigenvalues and eigenvectors
Applications
・Geometric transformations

・Principal component analysis

・Graphs

・Markov chains

・Vibration analysis

・Tensor of moment of inertia

・Stress tensor

・Schrödinger equation

・Wave transport

・Molecular orbitals

・Geology and glaciology

・Basic reproduction number

・Eigenfaces

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721183883/574

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