[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ10 (1002ﾚｽ)

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ10 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721183883/

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121: １３２人目の素数さん [sage] 2024/07/30(火) 18:32:38.83 ID:y+tJ7T6g a^x≡1 modpとなる最小の正整数x=mをaの位数と言う。a≢0ならばmは必ず存在する。 0≤i<j≤m-1とすると1≤j-i≤m-1 またa^i≢0 a^i≡a^j⇔a^(j-i)≡1 ⇔i=jとなる 従ってmodpで全て異なる x=qm+r、0<r<mとなると仮定すると a^(qm)×a^r≡1 a^r≡1、これはmの最小性に反するのでr=0となる 定理1・16 aの位数をmとする a^x (x=0, 1, 2, …, m-1) は (a^x)^m=(a^m)^x≡1^x≡1となる m次方程式の解はm個以下であり、異なるm個のa^iか存在することが証明されたので x^m≡1 mod p の解は{a^i|0≤i≤m-1}である。 b∉<a>とする。bの位数をnとする。すなわちb^n≡1 modp m=ndとなると仮定すると b^m≡1となりb∈<a>となり矛盾する。 (m, n)=1の時、(ab)!x≡1の両辺をm乗、n乗した式から題意の成立が分かる。 (m, n)>1の時、q、r、s、tを作る。qsをとると上の(m, n)=1の議論が適用出来る。 こるによって位数を増やすことが可能になり、定理が証明された。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721183883/121

123: １３２人目の素数さん [sage] 2024/07/30(火) 19:16:30.26 ID:y+tJ7T6g 問1・13 a=2としてみる 2、4、8、16、32、23、5、10、20、40、39、37、33、25、9、18、36、31、21、1となり位数は20で不適。m=20=2^2×5 次に3としてみる 3、9、27、40、38、32、14、1 位数は8で不適。n=8=2^3 よってq=5、r=4、s=8、t=1 m大=q、m小=r、n大=s、n小=t a^r b^t=2^4 3^1=48≡7 mod41 よって次は7を試す 7、8、15、23、38、20、17、37 13、9、22、31、12、2、14、16 30、5、35、40、34、33、26、18 3、21、24、4、28、32、19、10 29、39、27、25、11、36、6、1 より7は41の原始根である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721183883/123

124: １３２人目の素数さん [sage] 2024/07/30(火) 19:22:13.41 ID:y+tJ7T6g 定理1・17 (Z/pZ)*の位数はp-1、 Z/(p-1)Zの位数はp-1 上の議論により(Z/pZ)*は原始根rによって生成されるので (Z/p)*≅<r>≅Z/(p-1)Zとなる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721183883/124

125: １３２人目の素数さん [sage] 2024/07/30(火) 19:25:52.28 ID:y+tJ7T6g 1・10は重要な定理の証明に至りましたね。 (Z/pZ)* pは素数、は原始根を必ず持つ。 この証明を抽象的にやらずに原始根の求め方を示唆する形で証明してくれたので一石二鳥です。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721183883/125

126: １３２人目の素数さん [sage] 2024/07/30(火) 19:28:08.88 ID:y+tJ7T6g 493 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/07/30(火) 16:52:35.80 ID:ZMq7Uf7X いや、噂ですけどね ・ある数学者が、東大に入学したけれど ・もっと教養をやりたいと、京都大学を受験しなおしたそうな ・京都大学の数学科からDRコースを経て、助手になり 立派な数学者になったとか・・ 東大と京大ね。教養ありまくりですね 夏目の三四郎を読んだと聞いて、「教養ありますね」と言ったら 「ばかやろー、三四郎を読むくらい 教養にはいらない！」と一喝されて 私も、三四郎を読みました そしたら 名著 矢ヶ部 巌先生の「数III方式ガロアの理論」の ”ストレイシープ”の意味が分かりました 教養 大事ですね (参考) アマゾン 数III方式ガロアの理論 単行本 – 2016/2/25 矢ヶ部 巌 (著)現代数学社 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721183883/126

127: １３２人目の素数さん [sage] 2024/07/30(火) 19:28:47.97 ID:y+tJ7T6g >>126 この本もチェックします http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721183883/127

129: １３２人目の素数さん [sage] 2024/07/30(火) 20:12:53.96 ID:y+tJ7T6g (Z/16Z)*≅(Z/4Z)×(Z/2Z)の確認 {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}、位数8 {0, 1, 2, 3}×{0, 1}、位数8 今までと同様の写像φを考えるとφは同型写像となる。(φは全単射かつφ(ab)=φ(a)φ(b)を示す) 加法群として考えるのだが5^iと(-1)^jの冪に着目する。 {5、9、13、1}≡1 mod4 (1) 左辺を{4k+1}としてkの値は {1, 2, 3, 0}となりOK。 {-5, -9、-13、-1}≡3 mod4 ≡{11、7、3、15} (2) (1) (2) を合わせると(Z/4Z)×(Z/2Z)は(Z/16Z)*と同型になっている http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721183883/129

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