[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ10 (1002ﾚｽ)
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121: 2024/07/30(火)18:32 ID:y+tJ7T6g(1/7) AAS
a^x≡1 modpとなる最小の正整数x=mをaの位数と言う。a≢0ならばmは必ず存在する。
0≤i<j≤m-1とすると1≤j-i≤m-1
またa^i≢0
a^i≡a^j⇔a^(j-i)≡1
⇔i=jとなる
従ってmodpで全て異なる
x=qm+r、0<r<mとなると仮定すると
省15
123: 2024/07/30(火)19:16 ID:y+tJ7T6g(2/7) AAS
問1・13
a=2としてみる
2、4、8、16、32、23、5、10、20、40、39、37、33、25、9、18、36、31、21、1となり位数は20で不適。m=20=2^2×5
次に3としてみる
3、9、27、40、38、32、14、1
位数は8で不適。n=8=2^3
よってq=5、r=4、s=8、t=1
省9
124: 2024/07/30(火)19:22 ID:y+tJ7T6g(3/7) AAS
定理1・17
(Z/pZ)*の位数はp-1、
Z/(p-1)Zの位数はp-1
上の議論により(Z/pZ)*は原始根rによって生成されるので
(Z/p)*≅<r>≅Z/(p-1)Zとなる。
125: 2024/07/30(火)19:25 ID:y+tJ7T6g(4/7) AAS
1・10は重要な定理の証明に至りましたね。
(Z/pZ)* pは素数、は原始根を必ず持つ。
この証明を抽象的にやらずに原始根の求め方を示唆する形で証明してくれたので一石二鳥です。
126(1): 2024/07/30(火)19:28 ID:y+tJ7T6g(5/7) AAS
493 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2024/07/30(火) 16:52:35.80 ID:ZMq7Uf7X
いや、噂ですけどね
・ある数学者が、東大に入学したけれど
・もっと教養をやりたいと、京都大学を受験しなおしたそうな
・京都大学の数学科からDRコースを経て、助手になり 立派な数学者になったとか・・
東大と京大ね。教養ありまくりですね
夏目の三四郎を読んだと聞いて、「教養ありますね」と言ったら
省9
127: 2024/07/30(火)19:28 ID:y+tJ7T6g(6/7) AAS
>>126
この本もチェックします
129: 2024/07/30(火)20:12 ID:y+tJ7T6g(7/7) AAS
(Z/16Z)*≅(Z/4Z)×(Z/2Z)の確認
{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}、位数8
{0, 1, 2, 3}×{0, 1}、位数8
今までと同様の写像φを考えるとφは同型写像となる。(φは全単射かつφ(ab)=φ(a)φ(b)を示す)
加法群として考えるのだが5^iと(-1)^jの冪に着目する。
{5、9、13、1}≡1 mod4 (1)
左辺を{4k+1}としてkの値は
省4
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