ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ10

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139: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/07/31(水) 16:42:57.60 ID:e0XX8e/m

>>138
ガウス DA 1801年
その後、アーベルとガロアが ガウスのDAなどをもとに代数方程式の理論を作ったと言われるが（下記高瀬 日々のつれづれ）
結局は、この二人の天才以外に ガウスのDAから 代数方程式の理論を解き明かした人は出なかったのです
ガロアの死後、リウヴィルが1846年に自身の雑誌にガロアの論文を掲載して
デーデキントが1855年から1857年にガロア理論の最初の講義をおこなったという
つづいて、1870年にジョルダンが『置換と代数方程式論』（ガロア理論に関する包括的な解説として最も古いもの）を出版する
1846年から四半世紀
アーベルの理論がいつ世に知られるようになったのかは、私にはわからない(高木「近世数学史談」には、ガウスがゴミ扱いしたと書いてある)
繰り返すが、高瀬氏は ガウスのDAがガロア理論のひな形というが、それを感知したのは天才ガロアのみです
しかも、ガウス氏がガロア理論を理解したという形跡もなし。まあ、1855年2月23日没だから、やむをえないとしてもね

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_Arithmeticae
Disquisitiones Arithmeticae
カール・フリードリヒ・ガウス唯一の著書 1801年、ガウス24歳のときに公刊された。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%AA%E3%83%92%E3%83%BB%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9
カール・フリードリヒ・ガウス
1777年4月30日 - 1855年2月23日

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2
エヴァリスト・ガロア（Évariste Galois, 1811年10月25日 - 1832年5月31日）
死後の動き
ガロアの死後、シュヴァリエは遺書に従って1832年に『百科評論雑誌』(Revue encyclopédique)に「死者小伝」(Nécrologie)と題したガロアの論文等を掲載した。また、ガロアの弟アルフレッドと共に、複数の著名な数学者へ論文の写しを送ったものの、当初は誰も理解できるものはいなかったようである。しかし、何らかのきっかけで、その写しがジョゼフ・リウヴィルの手元に渡った。リウヴィルはこの論文を理解しようと努め、ついに1846年に自身が編集する『純粋・応用数学雑誌』(Journal de mathématique pures et appliquées)に掲載された。
リヒャルト・デーデキントは1855年から1857年にかけてゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義をおこなった[13]。カミーユ・ジョルダンによって1870年に発表された667ページに及ぶ著書『置換と代数方程式論』 (Traité des substitutions et des équations algebraique) はガロア理論に関する包括的な解説として最も古いものである。ジョルダンはその序文において、「本書はガロアの諸論文の注釈に過ぎない」と述べている。

杉浦光夫 リーとキリング・カルタンの構造概念 （URLのリンクが切れているようだ）
Tsuda University
https://www2.tsuda.ac.jp › math › suugakushi › sympo01
ガロアの仕事は、1846年リューヴィルによって発表さ. れ、ベッチ、デーデキント、セレ等ガロア理論を理解す. る人も増えて行った。ジョルダンの『置論』は、この. 動きを ...
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721183883/139

140: １３２人目の素数さん [] 2024/07/31(水) 16:43:30.04 ID:e0XX8e/m

つづき

reuler.blog108.fc2.com/blog-entry-1298.html?sp
日々のつれづれ 高瀬正仁
数学における抽象化とは何か　(6)ガロア理論とみみずの熱冷まし
2011/02/10

あまり観念的な話ばかりになってもつまりませんので、アーベルとガロアによる二つの代数方程式論について考えてみたいと思います。当面の関心は数学における具象と抽象というところにありますので、アーベルの具象とガロアの抽象を対比させてみたいのです。
　アーベルもガロアもガウスの影響のもとで独自の数学的世界を描き出していったのですが、代数方程式論の領域ではアーベルの理論は二つの焦点をもっています。ひとつは「不可能の証明」、もうひとつは「アーベル方程式」の概念の発見です。どちらもガウスの円周等分方程式論から取り出されました。「不可能の証明」というのはつまり代数方程式の次数が4を越えると「根の公式」が存在しないこと、すなわち5次以上の一般代数方程式を代数的に解くのは不可能であることの証明のことですが、この証明に最初に成功したのはアーベルですので、通常これを「アーベルの定理」と呼んでいます。ですが、現在の大学でアーベルによる一番はじめの証明が紹介されることはまずありません。

アーベルに少し遅れてガロアが出て、アーベルとは別の原理に基づいて「不可能の証明」を遂行しました。ガロアの証明は今日のガロア理論の原型で、ガロア理論の中核は「ガロア対応」を記述するところにありますが、これを代数方程式論に適用すると、「方程式のガロア群が可解群であること」という、代数的に解けるための必要十分条件が手に入ります。そこで一般５次方程式のガロア群を観察すると、それは5次の対称群であり、可解群ではありません。これがガロアによる「不可能の証明」です。なんだか雲をつかむような証明ですが、そんな印象はどこから発生するのだろうと考えてみますと、今日のガロア理論の抽象性に由来するのではないかと思います。
　ガロア対応というのは体の拡大の様相を群の言葉でコントロールしようとする理論ですが、それ自体は代数方程式論とは何の関係もありません。ただ単に体と群の間にそんな対応関係が認められるというだけのことであり、代数方程式論ばかりではなく、そこには何かしら具象性を感じさせる属性は何もありません。すなわち、意味もなく空中に浮かんでいるだけの抽象的な存在物なのですが、その代りさまざまな具体的な数学的現象にあてはまります。代数方程式論はそのひとつの事例にすぎません。この状況は和算の特殊算と連立一次方程式の関係によく似ています。代数方程式論は特殊算のひとつで、鶴亀算みたいなもの。今日のガロア理論に相当するのは連立一次方程式の解法理論です。
　ガロアによる「不可能の証明」の構造がすでにこのような抽象性を内包するものだったようで、ガロア以降、デデキントやカミーユ・ジョルダンの手を経て今日のガロア理論が形成されました。ガロア自身は鶴亀算の攻略に向かったのでしょうが、その解き方の実質はつまり連立一次方程式の解法理論だったということなのでしょう。ガロアの論文を腑分けすれば、そこからガロア対応が抽出されますが、これを実際に遂行したのはデデキントとカミーユ・ジョルダンでした。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721183883/140

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