[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ10 (1002ﾚｽ)

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ10 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721183883/

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299: １３２人目の素数さん [sage] 2024/08/19(月) 03:19:43.73 ID:TUiH1m/j 定理2･3の証明 g1Hとg2Hには共通部分があるかないかのどちらか。あるとしたら全部同じ。 有限群Gとその部分群Hについて g1, g2∈G、g1≠g2、x, y∈H、|G|=nとすると g1x=g2y ⇔ x(1/y)=(1/g1)g2∈H ⇔(1/g1)g2H=H ⇔g2H=g1H よって同じ元が存在することとそれらが同じ剰余類に属することは同値である。 |G|=∑|gH|、定理2･2より|gH|=|H|、 k=|G|/|H| よって定理2･4 ラグランジュの定理 |G|=[G: H] |H| が成り立つ。 [G: H]はGのHによる指数。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721183883/299

300: １３２人目の素数さん [sage] 2024/08/19(月) 03:43:38.79 ID:TUiH1m/j 問2･2 |D3|=6であるから部分群の位数はラグランジュの定理により 1、2、3、6 位数1は{e} 位数2は{e, τ}、{e, τσ}、{e, τσ2} これらは全て対称移動 位数3は{e, σ, σ2} これは巡回群<σ>、回転移動 位数6はD3。 定理2･5 gの位数をdとする(元の位数である) するとg^d=e、すると|<g>|=dとなる(巡回群の位数)。 これはGの部分群なのでラグランジュの定理よりn=dhとおける g^n=g^dh=(g^d)^h=e^h=e http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721183883/300

301: １３２人目の素数さん [sage] 2024/08/19(月) 04:02:48.58 ID:TUiH1m/j 定理2･6 オイラーの定理 ||Z/mZ|*|=φ(m)である(これは定義) 定理2･5により a^φ(m)≡1 mod m フェルマーの小定理 m=p (素数)とするとφ(m)=p-1なのでa^(p-1)≡1 mod p 定理2･7 gH=H⇔g∈Hの証明 gH=Hの時、e∈Hよりg=ge∈gH=H ゆえにg∈Hとなる g∈Hの時、g=geであるから ge∈gHよりg∈Hかつg∈gH 共通の元gを含むからgH=Hとなる http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721183883/301

302: １３２人目の素数さん [sage] 2024/08/19(月) 04:08:13.73 ID:TUiH1m/j 2-2節は部分群が単なる部分集合ではないということを扱いました。感覚的にも納得しやすい説明でした。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721183883/302

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