[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ10 (1002ﾚｽ)
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36: 2024/07/23(火)00:00 ID:DI3sEMSs(1/6) AAS
定義1・6
(Z/nZ)*、既約剰余類群について
単位元は1。1×a=a×1=a
結合律と閉鎖律は、Zとして掛け算をした後、mod nで0～n-1にすればよいので成り立つ。
(k, n)=1の時、kに逆元が存在することの証明
この時、kx+ny=1は整数解を持つ。よってkx≡1 mod nは解を持つ
ょってnと互いに素な正整数kには逆元が存在する。
37: 2024/07/23(火)00:05 ID:DI3sEMSs(2/6) AAS
1-6節は既約剰余類群についてでしたね。分かりやすくてあっと言う間に終わりました。
nと互いに素な正整数を1～n-1から選ぶとそれらは群になります
逆元の存在は
(k, n)=1 ⇔ kx≡1 mod nは解を持つ
によって分かりますね。
38: 2024/07/23(火)01:39 ID:DI3sEMSs(3/6) AAS
定理1・8は証明済み
それによると
Z/(8・81・25)Z≅(Z/8Z)×(Z/81Z)×(Z/25Z)
が成り立つ。
今後の目標となる定理☆
☆ 既約剰余類群は巡回群の直積と同型になる
更に大きな定理☆☆
省19
39: 2024/07/23(火)02:15 ID:DI3sEMSs(4/6) AAS
定理1・9の証明
p^e=P、q^f=Q、r^g=Rとおく
PQR=Aとおく
(Z/AZ)*={k|(k, A)=1}、1≤k≤A
φ: U=(Z/AZ)*→V=(Z/PZ)*×(Z/QZ)*×(Z/RZ)*とする。
α, β∈Z>0とする
f: αA→(αP, αQ, αR)とするとαA∈Uの時、fは写像φである。
省21
40: 2024/07/23(火)02:24 ID:DI3sEMSs(5/6) AAS
既約剰余類群と中国剰余定理は関係が深いですね。
読むだけなら3日で読み終わるぐらいの分かりやすい本ですが証明などをなぞって書き出したりしているので時間がかかります。楽しいです。
今までの所は完璧に理解出来ていますが、分からない所があっても枠組を掴んだら進むのが良い方法ということですよね。
41: 2024/07/23(火)02:49 ID:DI3sEMSs(6/6) AAS
1≤a≤30を満たす整数aがあったとして、aを2で割った余りb、3で割った余りc、5で割った余りdは決まりますよね。
ここで(2, 3)=(3, 5)=(5, 2)=1となっている。互いに素。
逆に2で割った余りb、3で割った余りc、5で割った余りdを指定するとa(1≤a≤30)は1つに決まります。これを中国剰余定理と言います。
φ: U=(Z/30Z)*→V=(Z/2Z)* ×(Z/3Z)* ×(Z/5Z)*
φ: a∈U→(b, c, d)とすると、(b, c, d)∈V、φは同型写像です。
U={1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}
V={(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 3), (1, 1, 4), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (1, 2, 3), (1, 2, 4)}
省2
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