ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ10

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139: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/07/31(水) 16:42:57.60 ID:e0XX8e/m

>>138
ガウス DA 1801年
その後、アーベルとガロアが ガウスのDAなどをもとに代数方程式の理論を作ったと言われるが（下記高瀬 日々のつれづれ）
結局は、この二人の天才以外に ガウスのDAから 代数方程式の理論を解き明かした人は出なかったのです
ガロアの死後、リウヴィルが1846年に自身の雑誌にガロアの論文を掲載して
デーデキントが1855年から1857年にガロア理論の最初の講義をおこなったという
つづいて、1870年にジョルダンが『置換と代数方程式論』（ガロア理論に関する包括的な解説として最も古いもの）を出版する
1846年から四半世紀
アーベルの理論がいつ世に知られるようになったのかは、私にはわからない(高木「近世数学史談」には、ガウスがゴミ扱いしたと書いてある)
繰り返すが、高瀬氏は ガウスのDAがガロア理論のひな形というが、それを感知したのは天才ガロアのみです
しかも、ガウス氏がガロア理論を理解したという形跡もなし。まあ、1855年2月23日没だから、やむをえないとしてもね

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/Disquisitiones_Arithmeticae
Disquisitiones Arithmeticae
カール・フリードリヒ・ガウス唯一の著書 1801年、ガウス24歳のときに公刊された。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%AA%E3%83%92%E3%83%BB%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9
カール・フリードリヒ・ガウス
1777年4月30日 - 1855年2月23日

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2
エヴァリスト・ガロア（Évariste Galois, 1811年10月25日 - 1832年5月31日）
死後の動き
ガロアの死後、シュヴァリエは遺書に従って1832年に『百科評論雑誌』(Revue encyclopédique)に「死者小伝」(Nécrologie)と題したガロアの論文等を掲載した。また、ガロアの弟アルフレッドと共に、複数の著名な数学者へ論文の写しを送ったものの、当初は誰も理解できるものはいなかったようである。しかし、何らかのきっかけで、その写しがジョゼフ・リウヴィルの手元に渡った。リウヴィルはこの論文を理解しようと努め、ついに1846年に自身が編集する『純粋・応用数学雑誌』(Journal de mathématique pures et appliquées)に掲載された。
リヒャルト・デーデキントは1855年から1857年にかけてゲッティンゲン大学でガロア理論に関する最初の講義をおこなった[13]。カミーユ・ジョルダンによって1870年に発表された667ページに及ぶ著書『置換と代数方程式論』 (Traité des substitutions et des équations algebraique) はガロア理論に関する包括的な解説として最も古いものである。ジョルダンはその序文において、「本書はガロアの諸論文の注釈に過ぎない」と述べている。

杉浦光夫 リーとキリング・カルタンの構造概念 （URLのリンクが切れているようだ）
Tsuda University
https://www2.tsuda.ac.jp › math › suugakushi › sympo01
ガロアの仕事は、1846年リューヴィルによって発表さ. れ、ベッチ、デーデキント、セレ等ガロア理論を理解す. る人も増えて行った。ジョルダンの『置論』は、この. 動きを ...
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721183883/139

697: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/08/27(火) 10:46:39.60 ID:POp9Wofi

>>688

ご苦労様です
下記を抜粋しておきますね
詳細は、本文を読んでください

(参考)
dora.bk.tsukuba.ac.jp/~takeuchi/?%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0%EF%BC%A9%2F%E5%AF%BE%E8%A7%92%E5%8C%96%EF%BC%88%E4%B8%80%E8%88%AC%E3%81%AE%E5%A0%B4%E5%90%88%EF%BC%89
武内修＠筑波大 重川研究室
Top線形代数Ｉ対角化（一般の場合）
2023-12-13

相似な行列・相似変換
行列 A と B との間に
B=P^-1AP
の関係があるとき、
「A と B とは相似である」という。

相似変換は固有値や階数を保存する †
相似変換によって固有値が変化しない
すなわち

相似な行列というのは、固有値が等しい行列のこと
略証明

相似変換と座標変換
行列の対角化・三角化 †
この後得られる結果を先取りしておく。
・相似変換により任意の行列を三角行列に変換できる（三角化可能）
・相似変換により行列を対角行列に変換できるときとできないときがある（対角化可能・不可能）

相似変換による三角化・対角化とは？ †
ある行列Aを正則行列Pによって相似変換して結果を三角行列あるいは対角行列にすること。
あるいは、そのような行列Pを見つけること。

三角化（対角化）できたならば、対角成分は A の固有値である

対角化 †
対角化するための
P をどのように見つけるか †
固有ベクトルを並べた行列

対角化する行列の任意性 †

対角化可能条件 †
対角化は必ずしも可能ではない。

より使いやすい条件 †
教科書の P83 あたり でやったように「ある行列の列ベクトルが一次独立」であることと、その行列が正則であることとは同値である。

したがって、「Aがn本の一次独立な固有ベクトルを持つこと」 がAを対角化できる条件となる。

対角化可能性の判別 †
すべての固有値が、自身の重複度と同じ数の一次独立な固有ベクトルを持つことを確認すればよい。

行列の三角化 †
対角化が必ずしも可能とは限らないのに対して、
三角化は任意の行列  に対して必ず可能である。
→ 定理 6.2

証明には数学的帰納法を使う。

ジョルダン標準形 †
対角化できない行列は扱いが難しく、応用上は特別扱いが必要になることが多い。

そのような行列も三角化は可能であることを上で見た。

特に、次の特別な形の三角行列をジョルダン標準形と呼び、 任意の行列がジョルダン標準形に変換可能であることを示せるが、 ここでは詳細は割愛する。

固有値の重複度と固有ベクトルの自由度 †
上記でやり残した「固有値 λk が重複度 rk を持つ時、 固有ベクトルの自由度 fk は rk 以下である」を証明しよう。

対角化・三角化の実用性 †
ここでは対角行列・三角行列の性質を確認し、その応用可能性の一部を紹介する。
他にも多岐にわたる応用がある。

ケーリーハミルトンの定理

トレース、行列式と固有値との関係

相似な行列は †
・固有値が等しい
・トレースが等しい
・行列式が等しい
という点で「似ている」ことになる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721183883/697

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