ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ10

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8: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/07/17(水) 11:41:03.55 ID:co5bAWaW

つづき

藤野修先生は、令和５年 大阪科学賞を受賞されています
おめでとうございます

(参考)
//osaka-prize.ostec.or.jp/41-1
第４１回（令和５年度）
大阪科学賞（OSAKA SCIENCE PRIZE）受賞者の横顔
藤野　 修　４９歳

研究業績：小平消滅定理の一般化と代数幾何学への応用
代数多様体とは、大雑把に言うと、有限個の多項式の共通零点集合のことです。高校の教科書に出てくる円、楕円、放物線などは代数多様体です。
もっと簡単な平面上の直線も代数多様体です。高校では主にxy平面上で幾何学図形を考えます。これは二次元の空間内で一次元の代数多様体を考えることに対応します。xyz空間の中の球面も代数多様体です。これは三次元空間内の二次元の代数多様体です。
このように代数多様体は素朴な幾何学的対象です。ここで変数の数を増やしてみましょう。幾何学的には高次元の空間を考えることになります。高次元の空間内で複数の代数多様体の交わりを考えます。私たちはこのような幾何学図形を日々研究しています。
日本人フィールズ賞受賞者３名の仕事も高次元代数多様体に関するものです。
残念ながら高次元の代数多様体は絵に描くことができません。
そこで私たちは抽象的な数学理論を展開します。高次元代数多様体論の究極目標の一つは双有理分類という大雑把な分類を完成させることです。
現在の標準理論は、森重文によって1980年代に創められた森理論や極小モデル理論と呼ばれるものです。
私は小平の消滅定理と呼ばれるコホモロジーの消滅定理の一般化を確立し、広中の特異点解消と小平消滅定理の一般化を駆使して森理論の適用範囲を究極的に拡張するという仕事をしました。
ホッジ理論的な観点からは理論の混合化を実行したことになります。
これにより、従来不可能であったぐちゃぐちゃに潰れた高次元代数多様体の研究も可能になり、代数多様体の退化や特異点の研究などに応用されています。
このような基礎研究が実社会で応用される日が来ることを夢見ています。

代数多様体とは？

代数多様体の双有理分類
すでに述べましたが、代数多様体論の究極目標の一つは、代数多様体を双有理的に分類することです。

数学者の日常

小平の消滅定理の一般化

ホッジ構造
非特異射影多様体のコホモロジーにはホッジ構造と呼ばれる構造が入ります。これは純ホッジ構造と呼ばれるものになっています。一般の代数多様体のコホモロジーには純ホッジ構造は入らないのですが、混合ホッジ構造と呼ばれる純ホッジ構造を拡張したものが入ります。
(引用終り)
以上

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721183883/8

312: １３２人目の素数さん [] 2024/08/19(月) 19:10:49.55 ID:vhfZ1C/T

>>311
Q. 弾性力学、素逝力学、有限要素法で
　行列式0の場合はそれぞれいかなる状況か？
(引用終り)

・良い質問ですね 現代数学は、高度に抽象化されている
・なので、どの応用分野でも、線形代数の定理は通用する
（なお、素逝→塑性)
・行列式0の条件は、「行列のランク」に置き換えることができる
　簡単に、有限nxnの正方行列を考える
　有限nxnの正方行列が、”ランクnならば行列式≠0”つまり、逆行列が存在して可逆
・有限nxnの正方行列が、”ランクn未満ならば行列式＝0”つまり、逆行列が存在せず非可逆
（無限次元になると、いろいろ微妙な話があるのですが）

常識ですね　；ｐ）
なお、下記の「科学」や「アルゴリズム」も読んでね
飯高茂先生 >>279『「8割の学生がわかるように」 自分でいろいろ格言を作る ”第1行と第2行が同じだったら，隣の行をカンニングしているのだから，0点である”』
”第1行と第2行が同じだったら，隣の行をカンニングしているのだから，0点である” は、『有限nxnの正方行列が、”ランクn未満ならば行列式＝0”』
の単なる特殊例です
でも、Ｇ大生 「8割の学生がわかるように」 は、これがスタートラインです
（それを アホサル>>9が 必死で突っ込む様が、滑稽ｗ ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97
行列

科学
行列の応用は科学的な分野の大半に及ぶ
特に物理学において行列は、古典力学、光学、電磁気学、量子力学などにおける様々な物理現象のモデル化と研究に利用される
運動学やロボット工学では座標変換や姿勢制御などに行列が使われる。特に同次座標（英語版）変換のため、2次元の座標変換では3×3行列が、3次元の座標変換では4×4行列が使われることが多い。コンピュータグラフィックスにも応用されている
確率論や統計学、確率行列において行列は確率の組を表現するのに用いられ、例えば、これはGoogle検索におけるページランクのアルゴリズムで使われている

アルゴリズム
行列計算の効率的なアルゴリズムの研究は数値解析における主要な分野であり、これは何世紀にもわたるもので、今日でも研究領域が広がっている
行列の分解は、理論的にも実用的にも計算を簡単化するもので、そのアルゴリズムは正方行列や対角行列などといった行列の特定の構造に合わせて仕立てられており、有限要素法やそのほかの計算を効率的に処理させる
惑星運動論や原子論では無限次行列が現れる

ランク
行列 A のランクまたは階数とは、この行列の列ベクトルの中で線型独立なものの最大個数であり、また 行ベクトルの中で線型独立なものの最大個数とも等しい

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E9%9A%8E%E6%95%B0
行列の階数
行列の階数（ランク）は、行列の最も基本的な特性数 (characteristic) の一つで、その行列が表す線型方程式系および線型変換がどのくらい「非退化」であるかを示すものである。行列の階数を定義する方法は同値なものがいくつもある
例えば、行列 A の階数 rank(A)は、A の列空間（列ベクトルの張るベクトル空間）の次元[1]に等しく、また A の行空間の次元[2]とも等しい。行列の階数は、対応する線型写像の階数である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721183883/312

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