ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ10

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147: １３２人目の素数さん [] 2024/08/04(日) 18:38:59.28 ID:oj4WjR/C

これいいね（過去にも紹介したが）
https://www.ipmu.jp/ja/story/7637
ipmu
Vol.09 (Mar 2010)
Feature
斎藤 恭司「一数学者の青春の夢」
https://mathsoc.jp/publication/tushin/1603/1603saito.pdf
一数学者の青春の夢
斎藤恭司
東京大学数物連携宇宙研究機構
この論説は数物連携宇宙研究機構 (IPMU) 発行のIPMU News Vol. 9 に掲載された記事の転載です．

§10 新たな夢
僕自身若いときにクロネッカー青春の夢で登場した二つの超越関数，即ち指数関数と楕円関数及びそれらを生み出した周期積分の理論に感動し，それらを高次元化することを目指してきました．

大雑把に言って，クロネッカーが見出したのは「有理数体Qを代数閉体Q¯に迄拡大していく最初のステップ(即ち，Qや二次体のアーベル拡大等)は，
有理関数体を超越関数体に拡大していく最初のステップに登場する指数関数や楕円関数の特殊値をQに付加することにより実現できる」と解釈できます．
裏付けもない話ですが，想像を巡らせて，「もっと一般の代数拡大(体)に対しても対応する超越関数(体)があり，その特殊値を付加することにより代数拡大が実現しており，さらにはQ¯での代数的拡大のヒエラルヒー(註3参照)は対応する超越関数間の“何らかのヒエラルヒー”(楕円関数を特殊化すると指数関数となるような)を引き起こしている」のではないかと想像します(註7参照)．
するとそこに登場するべき超越関数とはどのようなものなのでしょうか．

僕の青春の夢は「そのようなQ¯とC^(z)との間をつなげる超越関数や保型形式(の候補者の一部分)を円積分や楕円積分を一般化した原始積分と呼ばれる周期積分とその逆写像により与えること」です．
そのために第一種楕円積分の高次元の一般化として原始形式とその周期積分の理論を提案してきました．
もっと具体的には，
(a) 特異点の普遍変形(またはランダウ-ギンズブルク・ポテンシャル)に対し定まる原始形式を特徴づけるための半無限ホッジ理論(現在では非可換ホッジ理論と呼ぶ著者もいます)，
(b)周期積分の逆写像の成分として得られる保型形式たちの空間の構造としての平坦構造(フロベニウス構造とも呼ばれる)の理論，
(c)原始形式を(無限)可積分系の中で捕らえるために導入した種々のルート系や正規ウエイト系に付随する無限次元リー環(楕円リー環，カスプリー環，···)の理論，
更には(d)それらのリー環を圏論的にリンゲル-ホール構成するための導来圏の導入等々(いずれも未完成ですが)いろいろ考えてきました．

不思議なそして驚いたことですが，最近これらの純粋に数学的動機で考えてきた諸構造の片鱗が，素粒子物理学やストリング理論の中にトポロジカル・ストリング理論あるいはランダウ-ギンズブルクモデルと呼ばれてほの見えてきたのです．

元々数の体系を理解したいというこれらの試みが宇宙や物理学の理解にも役立つことを切に願うものです．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721183883/147

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