ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ10

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717: １３２人目の素数さん [sage] 2024/08/28(水) 08:29:39.10 ID:vfThgxDo

基本変形、基本行列の性質

基本行列は正則行列であり、その単純な形から簡単に行列式や逆行列を求めることができる。
また、任意の(m, n)型行列は基本変形を繰り返し適用することによって、
対角上に１が並んだ単純な形の(m, n)型行列(以下、標準形 (*) と呼ぶ)
に変形することができることが知られている。
さらに、このような変形を得るための決定的な手続きも知られている。

今、(m, n) 型行列 Aに関して基本変形を繰り返し適用することによって
上のような標準形 F に変形できたとする。
このとき、基本変形と基本行列の同値性から、
p 個の (m, m)型基本行列 M1, ... Mp と
q 個の (n, n)型基本行列 N1, ... Nq と
を用いて下のように表せる。
F=M1 M2 … Mp A N1 N2 … Nq
このとき、A についてのさまざまな量を計算することができる。

階数　rank A = rank Fである。
行列式　m = n のとき、A には行列式 det A が存在する。
A=(M1 M2 …Mp)^-1 F (N1 N2 …Nq)^-1
であるので、
　det A
=det((M1M2…Mp)^-1 F (N1N2…Nq)^-1)
=det F/det Mp det Mp-1 … det M1 det Nq … det N1)
である。
逆行列　m = n で、 A が正則行列であるとき、逆行列 A^-1が存在する。
A が正則であるとき、 F が単位行列であることに注意すれば、
　A
=(M1M2…Mp)^-1 F (N1N2…Nq)^-1
=(M1M2…Mp)^-1 (N1N2…Nq)^-1
より、
A^-1=N1N2…NqM1M2…Mp
である。

さらに、A が正則であるとき、p と q どちらかを 0 にできる、
つまり、左か右のどちらかのみの基本変形を繰り返し適用することによって、
単位行列に変形できることが知られている。
今、q = 0であるとすると、
A^-1=M1M2…Mp
である。
つまり、A を単位行列に変形するのと同じ変形を
単位行列に適用することによって A^-1 が得られる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721183883/717

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