ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ10

[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ10 (1002ﾚｽ)
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7: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/07/17(水) 11:40:39.04 ID:co5bAWaW

つづき

4特異点の定義
ここでは特異点の定義について最低限のことだけを述べておく。詳しくは、[K森,§2.3]を見ていただきたい。極小モデル理論の専門家以外には頭の痛くなる話題であろう。

5非消滅定理
以下の定理がこの章の主定理である。対数的標準対に対する非消滅定理である。

7証明のアイデア
ここでは非消滅定理の証明のアイデアについて説明する。

8今後の課題
今回の仕事で、[K森]の2章の後半と3章が完全に一般化されたことになる。
道具である消滅定理が[K森]よりも格段に進歩しているからである。

9勉強の仕方
消滅定理は[F3]がお勧めである。[K森]の消滅定理の証明と全く同じ書き方で書いてある。次に[F6]を読めば極小モデル理論の基本定理（非消滅定理、固定点自由化定理、有理性定理、錐定理）が簡単に学べる。ある意味[K森]の3章より簡単である。消滅定理が強力になったので、川又によるX-論法（広中の特異点解消定理をつかって係数を揺するという有名なテクニック）は不要になったのである。基本定理の証明の途中では広中の特異点解消定理すら必要としなくなったのである。Ambro氏のquasi-logvarietiesの理論に興味がある人には、[F4]をお勧めする。理論の本質的な部分は[F4]で全部理解出来るはずである。技術的な細部まで理解しようとすると、[F5]を読まないと仕方ないであろう。著者の私が言うのもなんだが、[F5]を読むのは大変だと思う。技術的細部に拘りまくったからである。

10おまけ：個人的な考え
ここでは、80年代から現在にいたるまで極小モデル理論で重要な位置を占めているX-論法と、最近の新しい議論について個人的な意見を少し書いてみたい。通常の論文などには書かない個人的な印象である。あくまで私の考えである。X-論法の最もすばらしい点は、その強力さにあると思う。広中の特異点解消定理と係数を揺するという小細工をつかうことにより、様々な結果を川又–Viehweg消滅定理の応用として示すことが出来るのである。

最後に少しネタをばらしておく。[F1]と[F2]で対数的標準対に対する評価付きの固定点自由性の問題を扱った。これらは川又対数的末端対に対する結果の完全な焼き直しである。数学的には大した結果ではないと思う。[F1]と[F2]はKoll´ar氏やAngehrn氏とSiu氏の議論の手直しに過ぎない。ただし、[F1]と[F2]での試行錯誤が今回の[F6]につながったので、そういう意味では[F1]と[F2]は私にとっては非常に価値があった。結局のところ、やっぱりいろいろやってみないとダメだな、と改めて思った。以上。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721183883/7

140: １３２人目の素数さん [] 2024/07/31(水) 16:43:30.04 ID:e0XX8e/m

つづき

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日々のつれづれ 高瀬正仁
数学における抽象化とは何か　(6)ガロア理論とみみずの熱冷まし
2011/02/10

あまり観念的な話ばかりになってもつまりませんので、アーベルとガロアによる二つの代数方程式論について考えてみたいと思います。当面の関心は数学における具象と抽象というところにありますので、アーベルの具象とガロアの抽象を対比させてみたいのです。
　アーベルもガロアもガウスの影響のもとで独自の数学的世界を描き出していったのですが、代数方程式論の領域ではアーベルの理論は二つの焦点をもっています。ひとつは「不可能の証明」、もうひとつは「アーベル方程式」の概念の発見です。どちらもガウスの円周等分方程式論から取り出されました。「不可能の証明」というのはつまり代数方程式の次数が4を越えると「根の公式」が存在しないこと、すなわち5次以上の一般代数方程式を代数的に解くのは不可能であることの証明のことですが、この証明に最初に成功したのはアーベルですので、通常これを「アーベルの定理」と呼んでいます。ですが、現在の大学でアーベルによる一番はじめの証明が紹介されることはまずありません。

アーベルに少し遅れてガロアが出て、アーベルとは別の原理に基づいて「不可能の証明」を遂行しました。ガロアの証明は今日のガロア理論の原型で、ガロア理論の中核は「ガロア対応」を記述するところにありますが、これを代数方程式論に適用すると、「方程式のガロア群が可解群であること」という、代数的に解けるための必要十分条件が手に入ります。そこで一般５次方程式のガロア群を観察すると、それは5次の対称群であり、可解群ではありません。これがガロアによる「不可能の証明」です。なんだか雲をつかむような証明ですが、そんな印象はどこから発生するのだろうと考えてみますと、今日のガロア理論の抽象性に由来するのではないかと思います。
　ガロア対応というのは体の拡大の様相を群の言葉でコントロールしようとする理論ですが、それ自体は代数方程式論とは何の関係もありません。ただ単に体と群の間にそんな対応関係が認められるというだけのことであり、代数方程式論ばかりではなく、そこには何かしら具象性を感じさせる属性は何もありません。すなわち、意味もなく空中に浮かんでいるだけの抽象的な存在物なのですが、その代りさまざまな具体的な数学的現象にあてはまります。代数方程式論はそのひとつの事例にすぎません。この状況は和算の特殊算と連立一次方程式の関係によく似ています。代数方程式論は特殊算のひとつで、鶴亀算みたいなもの。今日のガロア理論に相当するのは連立一次方程式の解法理論です。
　ガロアによる「不可能の証明」の構造がすでにこのような抽象性を内包するものだったようで、ガロア以降、デデキントやカミーユ・ジョルダンの手を経て今日のガロア理論が形成されました。ガロア自身は鶴亀算の攻略に向かったのでしょうが、その解き方の実質はつまり連立一次方程式の解法理論だったということなのでしょう。ガロアの論文を腑分けすれば、そこからガロア対応が抽出されますが、これを実際に遂行したのはデデキントとカミーユ・ジョルダンでした。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1721183883/140

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