スレタイ箱入り無数目を語る部屋20

[過去ﾛｸﾞ] スレタイ箱入り無数目を語る部屋20 (1002ﾚｽ)
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8: １３２人目の素数さん [] 2024/07/06(土) 07:51:42.80 ID:BXv5KF7Y

つづき

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1710632805/536
・箱一つ、サイコロ一つの目を入れる。確率変数Xで扱う
　入れた目をx、賭ける目をyと書く
　xが確率変数ならばyに依存せず的中確率=1/6であるはず
　しかし実際には　x=yのとき的中確率=1　x≠yのとき的中確率=0
　よって矛盾
　よってxは確率変数でない
　一方、yをランダム選択した場合、yが確率変数である
　実際、この場合はxに依存せず的中確率=1/6である
　以上の通り、「見えないもの＝確率変数」は間違い
(引用終り)

・下記の2008年東工大 数学 第3問 ”いびつなサイコロ”ご参照
　この問題の全事象Ωは、”サイコロを2回ふったとき”
　Ω＝{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
　(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
　(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
　(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
　(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
　(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}で
　組合せ6x6の36通り、２次元で考える必要がある
　サイコロ1回だとΩ＝{1,2,3,4,5,6}
　普通のサイコロだと確率は各1/6ですが、いびつサイコロだと確率p1,p2,p3,p4,p5,p6≠1/6 で扱う
・いま、簡単に箱一つ 正常なサイコロ一つの目を入れる。確率変数Xで扱うとしてΩ＝{1,2,3,4,5,6}
　P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=1/6
　一方数当ての人が唱える数が、1〜6のランダムとして、これを確率変数Yで扱うとしてΩ＝{1,2,3,4,5,6}
　P(Y=1)=P(Y=2)=P(Y=3)=P(Y=4)=P(Y=5)=P(Y=6)=1/6
　よって、的中は同じ数で揃った場合で、(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)の6通り 6＊1/36＝1/6で理論通り
・別に、数当ての人が唱える数が 1〜6だが偏りがあるとして p'1,p'2,p'3,p'4,p'5,p'6≠1/6(どれかは1/6ではないが 総和Σi=1〜6 p'i =1)
　とすると、確率 1/6*p'1+1/6*p'2+1/6*p'3+1/6*p'4+1/6*p'5+1/6*p'6
　＝1/6(p'1+p'2+p'3+p'4+p'5+p'6）＝1/6(つまり理論通り)
　サイコロが正常だと、数当ての人が唱える数に偏りがあっても、的中確率1/6
・さて、的中確率1/6に成らない場合がある
　例えば、偏ったサイコロで3が出やすく確率1/2とする。それを見抜いた数当ての人が唱える数が常に3なら的中確率1/2になる

よって、「箱一つ、サイコロ一つの目を入れる。確率変数Xで扱う」として 矛盾はない！
(参考)
https://mine-kikaku.co.jp/index.php/2022/10/29/post-9074/
峰企画 2008年東工大 数学第3問20230227
第3問はそれぞれの目の出る確率が同じでない、
イカサマなサイコロに対する確率問題です。問題文は以下のとおりです

いびつなサイコロがあり、1から6までのそれぞれの目が出る確率が とは限らないとする
このサイコロを2回ふったとき同じ目が出る確率をPとし、1回目に奇数、2回目に偶数の目が出る確率をQとする
(1) P>=1/6であることを示せ。また、等号が成立するための必要十分条件を求めよ
(2) 1/4>=Q>=1/2-3/2Pであることを示せ

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1720219614/8

443: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/07/21(日) 20:03:55.02 ID:iZJzOwoP

>>441-442
ふっふ、ほっほ

>>もっといえば、{d1,d2,・・・,d100}たちの分布が問題
>ひとつの出題に対してd1,d2,・・・,d100は定数なのだから分布は意味を為さない。

その考え方では・・、確率論の「大数の法則」（下記）を理解することはできない！ｗ
下記の「大数の法則」を百回音読してね ；ｐ）
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%A7%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87
大数の法則
確率論・統計学における基本定理の一つ。確率の公理により構成される確率空間の体系は、統計学的確率と矛盾しないことを保証する定理である。
たとえばサイコロを振り、出た目を記録することを考える。この試行回数を限りなく増やせば、出た目の標本平均が目の期待値である 3.5 の近傍から外れる確率はいくらでも小さくなる。これは大数の法則から導かれる帰結の典型例である。より一般に、大数の法則は「独立同分布に従う可積分系確率変数列の標本平均は平均に収束する」と述べられる。
(引用終り)

>サイコロ一つを1回投げた時1の目が出ました。この分布って何ですか？
>サイコロ一つを1回投げて1の目,・・・,6の目が等確率で出る場合の分布は一様分布。
>あなたは分布を理解してますか？

その話には先回りして布石を打ってあるんだ。 >>8だね
リンク先には答えあるから、その答えも見て下さいね
「いびつなサイコロ」を考えると、”確率分布”の意味がよく分るでしょ！ ；ｐ）

(参考)>>8より再録
https://mine-kikaku.co.jp/index.php/2022/10/29/post-9074/
峰企画 2008年東工大 数学第3問20230227
第3問はそれぞれの目の出る確率が同じでない、
イカサマなサイコロに対する確率問題です。問題文は以下のとおりです
いびつなサイコロがあり、1から6までのそれぞれの目が出る確率が とは限らないとする
このサイコロを2回ふったとき同じ目が出る確率をPとし、1回目に奇数、2回目に偶数の目が出る確率をQとする
(1) P>=1/6であることを示せ。また、等号が成立するための必要十分条件を求めよ
(2) 1/4>=Q>=1/2-3/2Pであることを示せ
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1720219614/443

531: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/07/28(日) 23:59:34.54 ID:/2XhxQ3f

>>8 補足
(引用開始)
2008年東工大 数学第3問20230227
第3問はそれぞれの目の出る確率が同じでない、
イカサマなサイコロに対する確率問題です。問題文は以下のとおりです
いびつなサイコロがあり、1から6までのそれぞれの目が出る確率が とは限らないとする
このサイコロを2回ふったとき同じ目が出る確率をPとし、1回目に奇数、2回目に偶数の目が出る確率をQとする
(1) P>=1/6であることを示せ。また、等号が成立するための必要十分条件を求めよ
(2) 1/4>=Q>=1/2-3/2Pであることを示せ
mathclinic314.com/%E3%81%84%E3%81%B3%E3%81%A4%E3%81%AA%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%82%B3%E3%83%AD%E3%80%90%E4%B8%8D%E5%A4%89%E9%87%8F%E3%81%AB%E6%B3%A8%E7%9B%AE%E3%80%91%E3%80%902008%E5%B9%B4%E5%BA%A6-%E6%9D%B1%E4%BA%AC/
MathClinic
いびつなサイコロ【不変量に注目】【2008年度 東京工業大学ほか】
2021年8月3日
(1) について
k=1 , 2 , ⋯ , 6 として、k の目が出る確率を pk と設定します。
歪んでいようが、どれかの目は出るわけなので、
p1+p2+p3+p4+p5+p6=1
ということは言えるわけです。
コーシーシュワルツの不等式などが見えなかった場合
pk−1/6=qk  とおき
q1+q2+q3+q4+q5+q6=0
処理しようと思いました。
コーシーシュワルツの不等式に頼ることなく、解ききることができます。
mathclinic314.com/wp-content/uploads/2021/08/%E3%81%84%E3%81%B3%E3%81%A4%E3%81%AA%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%82%B3%E3%83%AD.pdf
(q1)^2+(q2)^2+(q3)^2+(q4)^2+(q5)^2+(q6)^2+1/6≧1/6
(引用終り)

<補足説明>
・さて、確率変数Xとの関係は
　確率変数X k→pk つまり 1→p1,2→p2,3→p3,4→p4,5→p5,6→p6
　正規のサイコロは、p1=p2=p3=p4=p5=p6=1/6です
　いびつなサイコロは、pk≠1/6（k=1〜6）もありうる
・pk−1/6=qkを考えているのは見事です
　設問(1)だけならば
　(p1-1/6)^2+(p2-1/6)^2+(p3-1/6)^2+(p4-1/6)^2+(p5-1/6)^2+(p6-1/6)^2
＝(p1)^2+(p2)^2+(p3)^2+(p4)^2+(p5)^2+(p6)^2-2(p1+p2+p3+p4+p5+p6)/6+6(1/6)^2
　（p1+p2+p3+p4+p5+p6=1 を使って）
＝(p1)^2+(p2)^2+(p3)^2+(p4)^2+(p5)^2+(p6)^2-2/6+1/6≧0
　つまり (p1)^2+(p2)^2+(p3)^2+(p4)^2+(p5)^2+(p6)^2≧1/6 が出る
　P＝(p1)^2+(p2)^2+(p3)^2+(p4)^2+(p5)^2+(p6)^2なので P≧1/6 がすぐ出る
追伸
・箱の中とか外とか関係ない！ サイコロなどの確率事象を扱うのが確率変数です！！
・「固定」？ なんですか それ？ｗ 「固定」で 東工大2008年解けますか？ｗｗｗ ；ｐ）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1720219614/531

787: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/08/13(火) 00:28:37.59 ID:539/nmuP

>>786
（引用開始）
>・箱の中のサイコロの目は、1,　2,　3,　4,　5,　6 のどれかだ
>　このどれかに決まっている
そう、決まっているから定数
>　サイコロがいびつでない正規のサイコロならば
>　どの目でも確率1/6だよ
どの目も確率1/6で出る
一旦出た目は勝手に他の目に変わることは無いから定数
(引用終り)

その考えでは、下記の2008年東工大 数学第3問が解けないよ
もしできるというならやってみせてｗ ；ｐ）
(参考)（>>8より再録）
mine-kikaku.co.jp/index.php/2022/10/29/post-9074/
峰企画 2008年東工大 数学第3問20230227
第3問はそれぞれの目の出る確率が同じでない、
イカサマなサイコロに対する確率問題です。問題文は以下のとおりです
いびつなサイコロがあり、1から6までのそれぞれの目が出る確率が とは限らないとする
このサイコロを2回ふったとき同じ目が出る確率をPとし、1回目に奇数、2回目に偶数の目が出る確率をQとする
(1) P≧1/6であることを示せ。また、等号が成立するための必要十分条件を求めよ
(2) 1/4≧Q≧1/2-3/2Pであることを示せ
(引用終り)

>>代表がどれでも良いのだから、di∈{d1,d2,・・・,d100}には上限はない
>あらかじめ選択関数をひとつ定めておけばよいだけ

決められないでしょ？
人間の限界を超えているから
人ができるのは、選択公理で 選択関数の存在を抽象的に仮定することだけだよ
もし、君にその力(任意同値類における選択関数を各ひとつ具体的に定める)
があるというならば
数列R^Nの 各しっぽ同値類における選択関数を 具体的に ひとつ定めてください
しかし それ（数列R^Nの 各しっぽ同値類を作り 各選択関数を 具体的に ひとつ定める）は
いま（21世紀）の数学では 実行不可能ですよ

補足：いま（21世紀）の数学では、超越数かどうかが未解決の例として 下記 e+π,e−π,eπ,π/e が挙げられている
もし、数列R^Nの 各しっぽ同値類の分類が完成すれば、それは10進展開 つまり 0〜9のたった10個の整数をならべるだけ
（つまり 数列10^N の分類完成）
例えば、e+π＝5.859874・・ が、どの同値類に属するのか？ それが分れば、数列のしっぽが 循環しているか否かが分る
しっぽが 循環しているなら有理数で、循環していないならば無理数と分る
ところが、いま（21世紀）の数学では それさえできない。だから、数列R^Nを具体的に扱うなど 夢の又夢だよ

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数
超越数かどうかが未解決の例
e+π,e−π,eπ,π/e・・

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1720219614/787

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