スレタイ箱入り無数目を語る部屋20

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3: １３２人目の素数さん [] 2024/07/06(土) 07:47:38.72 ID:BXv5KF7Y

つづき

「もうちょっと面白いのは，独立性に関する反省だと思う.
確率の中心的対象は，独立な確率変数の無限族
X1，X2，X3，…である.
いったい無限を扱うには，
(1)無限を直接扱う，
(2)有限の極限として間接に扱う，
二つの方針が可能である.
確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ.
(独立とは限らない状況におけるコルモゴロフの拡張定理なども有限性を介する.)
しかし，素朴に，無限族を直接扱えないのか?
扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.
n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって，
その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら，
当てられっこないではないか−−他の箱から情報は一切もらえないのだから.
勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.
ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる， といってもよい.」

数学セミナー201511月号の記事で、引用していなかった部分を、以下に引用する（＾＾；

”ばかばかしい，当てられる筈があるものか，と感じられるだろう.
何か条件が抜け落ちているのではないか，と疑う読者もあろう.問題を読み直していただきたい.
条件はほんとうに上記のとおり.無限個の実数が与えられ，一個を除いてそれらを見た上で，除いた一個を当てよ，というのだ.
ところがところが--本記事の目的は，確率99%で勝てそうな戦略を供することにある.
この問題はPeter Winkler氏との茶のみ話がてら耳にした.氏は原型をルーマニアあたりから仕入れたらしい.”
(引用終り)

この部分を掘り下げておくと
１．時枝氏は、この記事を、数学の定理の紹介とはしていないことに気付く
２．”Peter Winkler氏との茶のみ話がてら耳にした.氏は原型をルーマニアあたりから仕入れたらしい.”と
３．まあ、お気楽な、おとぎ話とまでは言ってないとしても、その類いの話として紹介しているのだった

ついでに”コルモゴロフの拡張定理”について、時枝記事は上記に引用の通りだが
１．”確率変数の無限族は，任意の有限部分族が独立のとき，独立，と定義されるから，(2)の扱いだ.(独立とは限らない状況におけるコルモゴロフの拡張定理なども有限性を介する.)”と
　　そして、”しかし，素朴に，無限族を直接扱えないのか? 扱えるとすると私たちの戦略は頓挫してしまう.”とも
　　記事の結論として、”勝つ戦略なんかある筈ない，と感じた私たちの直観は，無意識に(1)に根ざしていた，といえる.
ふしぎな戦略は，確率変数の無限族の独立性の微妙さをものがたる， といってもよい”と締めくくっているのだった
２．言いたいことは、”コルモゴロフの拡張定理”を使えば、この時枝解法が成り立つという主張にはなってないってこと
３．そして、”コルモゴロフの拡張定理”を使ってブラウン運動を記述できるなら、ブラウン運動こそ、”他から情報は一切もらえない”を実現しているように思えるのだが
(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1720219614/3

236: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/07/14(日) 13:11:52.55 ID:BJLc2ubv

>>233-234
>確率の公理から「箱の中身を確率変数とせねばならない」なんて結論はでてこないというだけ
>列選択を確率変数にすれば勝てるという主張に対し
>箱の中身を確率変数にすれば勝てないと反論するのは詭弁に他ならない

ふっふ、ほっほ
1）>>1の「箱入り無数目」より
　『片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.』
　『もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け.』
　そして、時枝の方法によれば
　ある箱の中を、その箱を開けず 他の箱を開けることで、
　”確率99/100で勝てる”、”確率1-ε で勝てる”(>>2)
　とある
　箱の中の数を開けずに ”確率99/100”or”確率1-ε”で的中できるのだから
　箱の中の数を確率論の問題として扱うのが、自然な発想です
2）実際、時枝氏自身が『独立な確率変数の無限族 X1，X2，X3，…』(>>3)
　について記述しているとおりです
　そして、『独立な確率変数の無限族 X1，X2，X3，…』については
　1933年のアンドレイ・コルモゴロフの公理的確率論導入以来
　いろんな人が研究してきた
　有名どころでは、伊藤清先生がいます。弟子に 渡辺信三先生、その弟子に重川一郎氏がいる
3）で、重川、原隆 らの確率論テキスト（下記）でも、『独立な確率変数の無限族 X1，X2，X3，…』で扱われ
　IID(独立同分布)を仮定すれば、どの一つもサイコロ一つの目と同じ確率が得られる、例外なし（正規のサイコロの出目の確率として）
　一方、「箱入り無数目」によれば、例外としてある一つの箱について、その箱を開けずに 確率 99/100ないし1-εの的中が得られるという
　あきらかに 両者は矛盾している！

そして、「箱入り無数目」の使う決定番号は、よく見ると>>9-11に示したように
非正則分布を使っていて、確率公理の”標本空間の測度は 1”を満たすことができていないのです
これは、”まずい”ぞ！！ってことですねｗ ；ｐ）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%8A%E8%97%A4%E6%B8%85
伊藤 清（いとう きよし、1915年〈大正4年〉9月7日[1] - 2008年〈平成20年〉11月10日）は、日本の数学者、大蔵官僚。学位は理学博士（東京帝国大学・1945年）。位階は従三位。確率論における伊藤の補題（伊藤の定理）の考案者として知られる。第1回ガウス賞受賞者。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B8%A1%E8%BE%BA%E4%BF%A1%E4%B8%89
渡辺 信三（わたなべ しんぞう、1935年12月23日 - ）は日本の数学者。京都大学名誉教授。
伊藤清の弟子に当たり、大学院では国田寛、福島正俊の一学年上であった。弟子に重川一郎がいる。確率解析学の第一人者

(参考)>>82より再録
https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~ichiro/lectures/06bpr.pdf
確率論基礎 重川一郎 平成19 年7月23日

https://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/02/pr-grad-all.pdf
確率論I, 確率論概論I 原隆（数理物理学） 九州大
講義のレジュメをまとめたもの (2002.10.08)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1720219614/236

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