スレタイ箱入り無数目を語る部屋20

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771: １３２人目の素数さん [] 2024/08/12(月) 15:07:03.21 ID:8g0q5vm4

>>770
>君のコメントは
>全事象はNではなく{d1,d2,・・・,d100}
>と認めたことになる

違うな
{d1,d2,・・・,d100}
を支える背後の全事象Nが重要ポイントだと指摘した

>オリンピックだろうが
>国内大会だろうが
>町内会だろうが
>「互いに相手より上の二者は存在しない」
>つまり、全順序集合でありさえすればいい

違うな
全事象が、有限か無限かで 決定的に異なる
つまり、コルモゴロフの確率公理を満たす確率測度を与えられるか否か
で異なる

補足しよう
いま、簡単に有限集合{0,1,2,・・,n}(2＜nの有限)を考えよう
（簡便に、一様分布を仮定する）
ここから任意a,b二つの数を選ぶと
簡単な考察として、グラフで説明する。 aをx軸 bをy軸 に取ると
n x n の正方形の中の自然数の格子点(a,b)が形成される

・b＝aが、n x n の正方形の対角線を構成する
・b≧aは、n x n の正方形の対角線の上半分の三角形 を成す
・b≦aは、n x n の正方形の対角線の下半分の三角形 を成す

よって、n x n の正方形が十分大きければ、b≧aのn x n の正方形の対角線の上半分の三角形の面積（ないし 自然数の格子点の数）から
P(b≧a)={(1/2)*n^2}/n^2=1/2 成立。念のため、n^2は正方形の面積(ないし格子点の数）で、(1/2)*n^2は上半分の三角形の面積（ないし格子点の数）だ

さて、これはn有限の場合だった
しかし、n=∞ の場合は事情が異なる
{(1/2)*n^2}/n^2 の部分が、∞/∞の部分が 不定形を成す
なので『P(b≧a)=1/2』は、このままでは言えない
（なお、極限などを使うと事情が異なるのは、周知の通り）

さて、箱入り無数目では、この『∞/∞の部分が 不定形を成す』から
（つまり、それは 全事象Nが発散して コルモゴロフの確率公理を満たす確率測度を与えられないことと関係している）
『P(b≧a)=1/2』は ”直感に反して” 数学的な帰結としては、不成立なのです！

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1720219614/771

787: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/08/13(火) 00:28:37.59 ID:539/nmuP

>>786
（引用開始）
>・箱の中のサイコロの目は、1,　2,　3,　4,　5,　6 のどれかだ
>　このどれかに決まっている
そう、決まっているから定数
>　サイコロがいびつでない正規のサイコロならば
>　どの目でも確率1/6だよ
どの目も確率1/6で出る
一旦出た目は勝手に他の目に変わることは無いから定数
(引用終り)

その考えでは、下記の2008年東工大 数学第3問が解けないよ
もしできるというならやってみせてｗ ；ｐ）
(参考)（>>8より再録）
mine-kikaku.co.jp/index.php/2022/10/29/post-9074/
峰企画 2008年東工大 数学第3問20230227
第3問はそれぞれの目の出る確率が同じでない、
イカサマなサイコロに対する確率問題です。問題文は以下のとおりです
いびつなサイコロがあり、1から6までのそれぞれの目が出る確率が とは限らないとする
このサイコロを2回ふったとき同じ目が出る確率をPとし、1回目に奇数、2回目に偶数の目が出る確率をQとする
(1) P≧1/6であることを示せ。また、等号が成立するための必要十分条件を求めよ
(2) 1/4≧Q≧1/2-3/2Pであることを示せ
(引用終り)

>>代表がどれでも良いのだから、di∈{d1,d2,・・・,d100}には上限はない
>あらかじめ選択関数をひとつ定めておけばよいだけ

決められないでしょ？
人間の限界を超えているから
人ができるのは、選択公理で 選択関数の存在を抽象的に仮定することだけだよ
もし、君にその力(任意同値類における選択関数を各ひとつ具体的に定める)
があるというならば
数列R^Nの 各しっぽ同値類における選択関数を 具体的に ひとつ定めてください
しかし それ（数列R^Nの 各しっぽ同値類を作り 各選択関数を 具体的に ひとつ定める）は
いま（21世紀）の数学では 実行不可能ですよ

補足：いま（21世紀）の数学では、超越数かどうかが未解決の例として 下記 e+π,e−π,eπ,π/e が挙げられている
もし、数列R^Nの 各しっぽ同値類の分類が完成すれば、それは10進展開 つまり 0〜9のたった10個の整数をならべるだけ
（つまり 数列10^N の分類完成）
例えば、e+π＝5.859874・・ が、どの同値類に属するのか？ それが分れば、数列のしっぽが 循環しているか否かが分る
しっぽが 循環しているなら有理数で、循環していないならば無理数と分る
ところが、いま（21世紀）の数学では それさえできない。だから、数列R^Nを具体的に扱うなど 夢の又夢だよ

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数
超越数かどうかが未解決の例
e+π,e−π,eπ,π/e・・

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1720219614/787

822: １３２人目の素数さん [] 2024/08/14(水) 11:38:57.13 ID:T6XuAVMl

>>820 補足

いくつかのポイントを補足しておこう

１）”箱入り無数目”の決定番号を使う 確率99/100に、確率測度の裏付けがない
　（コルモゴロフの確率公理を満たす 標本空間の測度を1とする 確率測度を与えることができない>>779）
２）”箱入り無数目”は、具体的実行性に欠ける
　つまり、実数の可算無限列 R^Nのしっぽ同値による分類を完成させて、できた各同値類に具体的な代表を決める
　これは、思念としては可能でも、現実には不可
　（卑近な例で、円周率πの10進展開で、理論的には無限数列ができる。しかし、人は円周率πの有限桁しかしらない。πの無限数列のシッポをしらない）
３）この元ネタ 実数の10進展開による数列が、Sergiu Hart氏のChoice Games November 4, 2013 P2 より( www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf)
　”Player 1 chooses a rational number in the interval [0,1] and writes down its infinite decimal expansion3
　0.x1x2...xn..., with all xn ∈ {0,1,...,9}.”
　また 　”Remark. When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win
　with probability 1 in game1, and with probability 9/10 in game2, by choosing
　the xi independently and uniformly on [0, 1] and {0, 1,..., 9}, respectively.”
　これについては、実は テンプレの>>4で紹介している
４）0.x1x2...xn..., →x1.x2...xn..., with all xn ∈ {0,1,...,9}
　のように、小数点の位置を 先頭から一つ動かして x1とx2の間に設定すれば
　x1.x2...xn... は、区間[0,10] の実数を表す（ 9.99...9...=10 だから）
　自然対数の底eや円周率πはもちろん、区間[0,10] の実数だ
　さて、e+π＝5.859874・・ も 区間[0,10] 内だ
　もし、しっぽ同値による分類を完成させることができたならば
　e+πのしっぽが循環しているかどうか？ よって、その同値類が有理数に属するか否か
　e+π が有理数か無理数か判定可能だ。しかし、まだe+π が有理数か無理数か不明だ
　つまり、区間[0,10] の実数 x1.x2...xn..., with all xn ∈ {0,1,...,9}
　ですら、しっぽ同値の分類を具体化することはできない！
　まして、実数の無限列 R^Nのしっぽ同値の分類の具体化など、夢のまた夢！！ｗ　 ；ｐ）

まとめると
・”箱入り無数目”は、数列のシッポ同値類の分類が具体的実行性に欠ける
・数列のシッポ同値類の決定番号による 確率99/100は、確率測度の裏付けなし
　（コルモゴロフの確率公理を満たす 標本空間の測度を1とする 確率測度を与えることができない>>779）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1720219614/822

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