スレタイ箱入り無数目を語る部屋20

[過去ﾛｸﾞ] スレタイ箱入り無数目を語る部屋20 (1002ﾚｽ)
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743: １３２人目の素数さん [] 2024/08/11(日) 12:55:54.35 ID:iHY4w8zh

>>734
(引用開始)
問題では
「このサイコロを2回ふったとき
　同じ目が出る確率をPとし、
　1回目に奇数、2回目に偶数の目が出る確率をQとする」
とある
２回「だけ」振ったとは書いてない
しかも「目が出る確率」と書いている
「目を回答者があてる確率」とは書いてない
(引用終り)

・う〜ん、あたまがグシャグシャですな
・下記の”確率の計算ができないキミへ（数学A）”見てね
・数学Aの確率計算は、”回答者”は無関係です
　これを、頭に叩き込んでね

(参考)
https://study-club.jp/news/matha-prob/
スタディクラブ
確率の計算ができないキミへ（数学A）2021.02.28

これらが起こる確率は（通常のサイコロであれば）等しく、各々 1/6 です。
このように、発生確率が等しいことを「同様に確からしい」といいます。
サイコロを振る時も、コインを投げる時も、この考え方がベースになっています。

例題
2 個のさいころを投げるとき、出目の少なくとも一方が 3 の倍数である確率を求めよ。
（誤解答）
2 つのさいころを A, B とする。
A が 3 の倍数になる確率は 1/3、B が 3 の倍数になる確率は 1/3 であるため、求める確率は1/3+1/3＝2/3 となる。
この足し算では、A, B の双方の出目が 3 の倍数となるケースを重複してカウントしているんです。
同じ事象を複数回カウントしてしまっては、確率を正しく計算できません。
解答
※正解は1-(2/3)^2=5/9  となります。

さいころを投げる問題２
問題
さいころを 3 つ投げるとき、出目の和が 6 になる確率を求めよ。
さいころの個数が増えて一見大変ですが、冷静に処理していきます。
解答
3 つのさいころの全ての目の出方は 6 x 6 x 6 = 216 通りであり、これらは同様に確からしい。
和が 6 になるような出目の組み合わせは
(1, 1, 4)
(1, 2, 3)
(2, 2, 2)
であり、並び替えを考慮すると順に 3, 6, 1 通りである。
また、これらの出目は同時に起こることがない。
したがって、求める確率は(3+6+1)/216=5/108  となる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1720219614/743

762: Mara Papiyas [sage] 2024/08/12(月) 09:58:35.26 ID:KA8bFPFY

>>761
>a)同値類の代表をとるとき、選択公理を使っていること
>　つまり 選択公理を使うと、しばしば測度の裏付けがなくなること
>b)実際に 「決定番号には、確率測度の裏付けがない」ということが分る
>　簡単には、決定番号は 非正則分布を成すので 全体が無限大に発散していて
>　コルモゴロフの確率公理、特に”標本空間全体の値が1”を満たす測度を与えられない ということ

それが全て？
君の論法が無意味なことをこれから示すよ

>Aさんが、可算無限個の箱の列に任意の好きな実数を入れて箱を閉じた
>Bさんが、もう1列 別の可算無限個の箱の列を作って好きな実数を入れた

まあ、A,B同じことやってるよね
だからBさんがやることをAさんもできるね　具体的には、

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
Aさんも 箱入り無数目の手順に従い
自分の作った可算無限個の箱の数列のしっぽ同値類を知り
その同値類の代表を知り、決定番号を知る。この決定番号をdAとしよう
次に、Aさん箱の列で、dA+1以降の箱を開けて 同様に 数列のしっぽを知り
数列のしっぽ同値類を知り、その同値類の代表を知る

Bさんの同値類の代表が分ったので、その同値類のdA番目の数も分った
さて、Bさんの数列の決定番号は、まだ不明だがそれをdBとする
もし、dB≦dA+1ならば Bさんの作った数列と その同値類の代表とは
しっぽ同値類の定義より
dA,dA+1,dA+2,・・・番目の しっぽが 一致しているべき　よって、
「Bさんの作った数列の未開のdBの数=その同値類の代表のdBの数」
であるべきで めでたく的中となる
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

ここで、dA>dB かつ dB>dA ということはない
という自然数の初等的性質を思い出そう

この性質に基づけば、
「AさんとBさんのどちらか一方は必ず相手の箱の中身を的中できる」
ということ

つまり、>>760の答えは以下の通り
「君が勝つ手はない！」

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1720219614/762

771: １３２人目の素数さん [] 2024/08/12(月) 15:07:03.21 ID:8g0q5vm4

>>770
>君のコメントは
>全事象はNではなく{d1,d2,・・・,d100}
>と認めたことになる

違うな
{d1,d2,・・・,d100}
を支える背後の全事象Nが重要ポイントだと指摘した

>オリンピックだろうが
>国内大会だろうが
>町内会だろうが
>「互いに相手より上の二者は存在しない」
>つまり、全順序集合でありさえすればいい

違うな
全事象が、有限か無限かで 決定的に異なる
つまり、コルモゴロフの確率公理を満たす確率測度を与えられるか否か
で異なる

補足しよう
いま、簡単に有限集合{0,1,2,・・,n}(2＜nの有限)を考えよう
（簡便に、一様分布を仮定する）
ここから任意a,b二つの数を選ぶと
簡単な考察として、グラフで説明する。 aをx軸 bをy軸 に取ると
n x n の正方形の中の自然数の格子点(a,b)が形成される

・b＝aが、n x n の正方形の対角線を構成する
・b≧aは、n x n の正方形の対角線の上半分の三角形 を成す
・b≦aは、n x n の正方形の対角線の下半分の三角形 を成す

よって、n x n の正方形が十分大きければ、b≧aのn x n の正方形の対角線の上半分の三角形の面積（ないし 自然数の格子点の数）から
P(b≧a)={(1/2)*n^2}/n^2=1/2 成立。念のため、n^2は正方形の面積(ないし格子点の数）で、(1/2)*n^2は上半分の三角形の面積（ないし格子点の数）だ

さて、これはn有限の場合だった
しかし、n=∞ の場合は事情が異なる
{(1/2)*n^2}/n^2 の部分が、∞/∞の部分が 不定形を成す
なので『P(b≧a)=1/2』は、このままでは言えない
（なお、極限などを使うと事情が異なるのは、周知の通り）

さて、箱入り無数目では、この『∞/∞の部分が 不定形を成す』から
（つまり、それは 全事象Nが発散して コルモゴロフの確率公理を満たす確率測度を与えられないことと関係している）
『P(b≧a)=1/2』は ”直感に反して” 数学的な帰結としては、不成立なのです！

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1720219614/771

787: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2024/08/13(火) 00:28:37.59 ID:539/nmuP

>>786
（引用開始）
>・箱の中のサイコロの目は、1,　2,　3,　4,　5,　6 のどれかだ
>　このどれかに決まっている
そう、決まっているから定数
>　サイコロがいびつでない正規のサイコロならば
>　どの目でも確率1/6だよ
どの目も確率1/6で出る
一旦出た目は勝手に他の目に変わることは無いから定数
(引用終り)

その考えでは、下記の2008年東工大 数学第3問が解けないよ
もしできるというならやってみせてｗ ；ｐ）
(参考)（>>8より再録）
mine-kikaku.co.jp/index.php/2022/10/29/post-9074/
峰企画 2008年東工大 数学第3問20230227
第3問はそれぞれの目の出る確率が同じでない、
イカサマなサイコロに対する確率問題です。問題文は以下のとおりです
いびつなサイコロがあり、1から6までのそれぞれの目が出る確率が とは限らないとする
このサイコロを2回ふったとき同じ目が出る確率をPとし、1回目に奇数、2回目に偶数の目が出る確率をQとする
(1) P≧1/6であることを示せ。また、等号が成立するための必要十分条件を求めよ
(2) 1/4≧Q≧1/2-3/2Pであることを示せ
(引用終り)

>>代表がどれでも良いのだから、di∈{d1,d2,・・・,d100}には上限はない
>あらかじめ選択関数をひとつ定めておけばよいだけ

決められないでしょ？
人間の限界を超えているから
人ができるのは、選択公理で 選択関数の存在を抽象的に仮定することだけだよ
もし、君にその力(任意同値類における選択関数を各ひとつ具体的に定める)
があるというならば
数列R^Nの 各しっぽ同値類における選択関数を 具体的に ひとつ定めてください
しかし それ（数列R^Nの 各しっぽ同値類を作り 各選択関数を 具体的に ひとつ定める）は
いま（21世紀）の数学では 実行不可能ですよ

補足：いま（21世紀）の数学では、超越数かどうかが未解決の例として 下記 e+π,e−π,eπ,π/e が挙げられている
もし、数列R^Nの 各しっぽ同値類の分類が完成すれば、それは10進展開 つまり 0〜9のたった10個の整数をならべるだけ
（つまり 数列10^N の分類完成）
例えば、e+π＝5.859874・・ が、どの同値類に属するのか？ それが分れば、数列のしっぽが 循環しているか否かが分る
しっぽが 循環しているなら有理数で、循環していないならば無理数と分る
ところが、いま（21世紀）の数学では それさえできない。だから、数列R^Nを具体的に扱うなど 夢の又夢だよ

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数
超越数かどうかが未解決の例
e+π,e−π,eπ,π/e・・

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1720219614/787

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