[過去ﾛｸﾞ] 大学学部レベル質問スレ 27単位目 (1002ﾚｽ)

大学学部レベル質問スレ 27単位目 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/

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392: １３２人目の素数さん [sage] 2024/07/03(水) 03:22:38.84 ID:NJQKt/+9 なので、以下では君が証明できずに逃げ回っていた部分を証明する。 君の証明が機能するためには、[y∈z ⇒ y⊂z] が証明できれば十分。 定理：∀x,y∈N s.t. (x∈y ⇒ x⊂y). 証明： A＝{y∈N｜∀x∈N s.t. (x∈y ⇒ x⊂y)} と置く。A＝N を示せばよい。 まずはφ∈Aを示す。∀x∈N s.t. (x∈φ ⇒ x⊂φ)を示せばよい。 x∈φ は常に偽なので、(x∈φ ⇒ x⊂φ) は真である(空虚な真)。 よって、確かにφ∈A である。次に、y∈A とする。S(y)∈A を示す。 ∀x∈N s.t. (x∈S(y) ⇒ x⊂S(y))を示せばよい。 x∈S(y) とする。S(y)＝y∪{y} なので、x∈y または x＝y である。 x∈y のときは、仮定 y∈A により、x⊂y である。また、y⊂S(y) である。 よって x⊂S(y) である。x＝y のときは、自明に x⊂S(y) である。 よって、確かに S(y)∈A である。よって、A＝N である。■ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/392

394: １３２人目の素数さん [sage] 2024/07/03(水) 03:29:31.77 ID:IVSi7hBR >>392 ださいからxは外に出して帰納法まわせよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/394

404: １３２人目の素数さん [] 2024/07/03(水) 12:10:14.20 ID:zkaz1+uF 田中一之、鈴木登志雄著『数学のロジックと集合論』 m ∈ N - {0} とする。このとき、 n + 1 ∈ m → n ∈ m が成り立つということを証明せずに再帰定理のステートメントで使っています。 >>392 の結果を使えば、 n + 1 ∈ m → n + 1 = n ∪ {n} ⊂ m である。 n ∈ n ∪ {n} ⊂ m であるから、 n ∈ m である。 と証明できますね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/404

405: １３２人目の素数さん [] 2024/07/03(水) 12:11:59.32 ID:zkaz1+uF >>392 この「s.t.」の使い方ってありですか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/405

410: １３２人目の素数さん [] 2024/07/03(水) 12:49:13.47 ID:zkaz1+uF >>392 をまだ読んでいませんが、↓の証明はあっていますか？ (1) ∀x ∈ N (x ∈ ∅ → x ⊂ ∅) はvacuously trueである。 (2) y ∈ N とする。 ∀x ∈ N (x ∈ y → x ⊂ y) が成り立つと仮定する。 (3) x, y ∈ N とする。 x ∈ y + 1 とする。 y + 1 = y ∪ {y} だから x ∈ y または x = y が成り立つ。 x ∈ y が成り立つとする。 (2)より x ⊂ y が成り立つ。 y ⊂ y ∪ {y} だから、 x ⊂ y ∪ {y} = y + 1 が成り立つ。 x = y が成り立つとする。 x = y ⊂ y ∪ {y} = y + 1 が成り立つ。 以上より、 ∀y, ∀x ∈ N (x ∈ y → x ⊂ y) が成り立つ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/410

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