[過去ﾛｸﾞ] 大学学部レベル質問スレ 27単位目 (1002ﾚｽ)
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1(3): 2024/06/14(金)06:03 ID:k5OAMAI4(1/3) AAS
大学で習う数学に関する質問を扱うスレ
・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして
・ただの計算は
外部ﾘﾝｸ:wolframalpha.com
・数式の表記法は
外部ﾘﾝｸ:mathmathmath.dotera.net
・質問のマルチポストは非推奨
省18
141(3): 2024/06/22(土)12:35 ID:E92IHurB(2/8) AAS
>>138
どうして不定積分ではだめなんですか？
F(x)=∫f(x)dxなら
∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)
って高校生の時習いましたよ。
165(3): 2024/06/26(水)04:48 ID:raIOCByA(1/8) AAS
実数上の連続かつ可換かつ結合的な二項演算って分類されてたりするんかな
加法、乗法、min、それらをRの同相で動かしたもの
以外にどんなのがあるんだろう？
221(3): 2024/06/29(土)19:12 ID:OV7p+SG5(3/3) AAS
>>220
訂正します。
A, B を可算無限な全順序集合で最大元、最小元を持たず稠密であるとする。
A と B は順序同形である。
この定理の証明でカントールの往復論法という論法が使われています。
この癖のある論法を使う理由は、全射であることを保証するためですか？
省15
223(3): 2024/06/30(日)00:35 ID:98eGIGX2(2/12) AAS
f(1) := min C
と定義する。
n > 1 に対しては、
f(n) := min C - {f(1), …, f(n-1)}
と定義する。
とだけ書いて、そのような f : N → C が存在すること自体は証明しません。
これってありですか？
237(3): 2024/06/30(日)11:15 ID:98eGIGX2(11/12) AAS
(Q, 0, +, <) と (Q^+, 1, ✕, <) は同形になるか？
265(4): 2024/07/01(月)20:53 ID:RJWpETYz(2/2) AAS
>>262
a<bの定義ってb≦aの否定じゃないの？
読んでないから知らんけど
266(5): 2024/07/01(月)20:54 ID:Jrzvuq5Y(3/3) AAS
「m ∈ n かつ n ∈ m」が成り立たないことを
一般の集合 n,m に対して示そうとすると、
正則性公理(あるいはその代替)が必要になる。
しかし、ωを最小の極限順序数(いわゆる自然数)とするとき、
n,m∈ω の場合なら、そういう公理は必要なくて、
普通に証明できる。
267(5): 2024/07/01(月)21:01 ID:5GDtBnQG(1) AAS
今回はωの話だからωに限定しているが、一般には、
n,m が順序数であれば、余計な公理を増設せずに証明できる。
証明のやり方は超限帰納法を使うのだが、
先に順序数のいくつかの性質を証明しておく必要があるので、
そんなすぐに証明できるものではない。
ωに限定した場合の証明は、ωまでの超限帰納法(＝通常の数学的帰納法)
を使えばよいが、これも、先にいくつかの性質を証明しておく必要がある。
268(4): 2024/07/01(月)22:27 ID:D8AjG8Sq(1) AAS
n<m→n+1≦m とし m< a< m+1 とする
m<a より m+1≦a
∴ a<a
269(4): 2024/07/01(月)23:35 ID:VjX1Q1EC(2/3) AAS
>>255
>補題2.8 m < n → m + 1 ≦ n.
これが証明されてるんなら
m<k<m+1となる自然数が存在するとすると矛盾になるでしょ
m<kからm+1≦k<m+1になるよ
270(4): 2024/07/01(月)23:36 ID:VjX1Q1EC(3/3) AAS
てか+1の定義からほぼほぼ自明だけどね
271(4): 2024/07/02(火)01:50 ID:1VP938GM(1/2) AAS
もう少し集合論の勉強を勧めたら、超限帰納法、超限帰納法による関数の定義、その応用として順序数の和・積・べき、基数の定義、集合の階層、へと進めるぞ
295(7): 2024/07/02(火)15:45 ID:sPBBtPN8(1/25) AAS
集合 A に対する命題 P(A) を以下のように定義する。
P(A)：φ∈A かつ (∀x∈A s.t. x∪{x}∈A).
自然数全体の集合 N が次の性質を持つことは既知とする。
(1) P(N) は真である。
(2) ∀A⊂N s.t. ( (A≠φ かつ P(A)) ⇒ A＝N ).
(2)は、いわゆる数学的帰納法である。
296(7): 2024/07/02(火)15:47 ID:sPBBtPN8(2/25) AAS
定義：
x∈N に対して S(x)＝x∪{x} と置く。
x∈S(x) かつ {x}⊂S(x) かつ x⊂S(x) が
成り立つことに注意せよ。
補題1：
A は N の空でない任意の部分集合とする。
このとき、次が成り立つ。
省1
297(7): 2024/07/02(火)15:50 ID:sPBBtPN8(3/25) AAS
証明：
B＝{ x∈N｜x∩A＝φ } と置く。明らかに φ∈B である。もし
∀b∈B s.t. S(b)∈B …(1)
が成り立つなら、Nにおける数学的帰納法の原理から、B＝N となる。
すなわち、任意の x∈N に対して x∩A＝φ となる。
しかし、Aは空でないから、a∈A を1つ取れば、
a∈{a}⊂S(a) に注意して、a ∈ S(a)∩A となる。
省7
298(7): 2024/07/02(火)15:52 ID:sPBBtPN8(4/25) AAS
今の段階で、
・ b∈N, b∩A＝φ, S(b)∩A≠φ
が成り立っている。実は b∈A が成り立つ。
実際、S(b)＝b∪{b} なので、S(b)∩A≠φ により
(b∪{b})∩A≠φである。b∩A＝φだったから、
{b}∩A≠φである。よって、b∈A である。
さて、a∈A を任意に取る。もし a∈b ならば、
省3
299(8): 2024/07/02(火)15:54 ID:sPBBtPN8(5/25) AAS
定理1：∀x,y∈N s.t. (¬(x∈y) または ¬(y∈x)).
証明：x,y∈N を任意に取る。A＝{x,y} と置き、
この A に対して補題1を適用すればよい。
定理2：∀z∈N s.t. (¬(z∈z)).
証明：定理1で x＝z, y＝z を適用すればよい。
(オマケ)
定理3：¬(N∈N).
省6
310(3): 2024/07/02(火)17:21 ID:UTyjqEFh(1) AAS
>>300
それならx≦yがx⊂yと同値なことを示すだけで、x<yとx≧yでないが同値であることはすぐ分かるんじゃないの？
329(4): 2024/07/02(火)21:23 ID:fVUU8q5M(3/12) AAS
Sx∈Sxならばx∈xで、∅∉∅なんだから、x∉xなのは当たり前じゃん
364(5): 2024/07/03(水)00:56 ID:IVSi7hBR(3/15) AAS
自分で証明してみてどうしてもできなかったらその時に言ってくれ
392(4): 2024/07/03(水)03:22 ID:NJQKt/+9(21/24) AAS
なので、以下では君が証明できずに逃げ回っていた部分を証明する。
君の証明が機能するためには、[y∈z ⇒ y⊂z] が証明できれば十分。
定理：∀x,y∈N s.t. (x∈y ⇒ x⊂y).
証明：
A＝{y∈N｜∀x∈N s.t. (x∈y ⇒ x⊂y)} と置く。A＝N を示せばよい。
まずはφ∈Aを示す。∀x∈N s.t. (x∈φ ⇒ x⊂φ)を示せばよい。
x∈φ は常に偽なので、(x∈φ ⇒ x⊂φ) は真である(空虚な真)。
省6
400(3): 2024/07/03(水)09:37 ID:zvdEfHFF(1) AAS
1+1=2を厳密に証明するのはすごく難しいというのを聞いたんですが、やってみてくれませんか？
575(3): 2024/07/18(木)16:09 ID:37W/vGD3(1/2) AAS
超難問。天才の皆様助けて！
体積630mlの高さ10cmの円柱の円の直径を教えてください。
603(3): 2024/07/23(火)23:32 ID:Q2TU2dcH(3/4) AAS
結局、三角形上で線積分してもいいし面積分しても良いのですか？
出題する側は何も気を使わなくてよい、と。
線績分の問題と面積分の問題を同時に出すときは区別しなくても回答者に委ねて文句は言わさないスタンスでokですか？
あるいは、∂△ABCで線積分？ 中身は閉包でもないし…。
696(6): 2024/08/08(木)11:19 ID:6AkNAUtS(1) AAS
K: 体, V: Kベクトル空間.
f, g_1, …, g_n: V→K: linear.
とする. このとき以下を示せ.
∩[i=1, …, n]Ker(g_i)⊂Ker(f)⇔∃λ_1, …, λ_n∈K, f+Σ[i=1, …, n]λ_i*g_i=0.
729(7): 2024/08/09(金)20:12 ID:0BOL65sS(1) AAS
>>728
画像ﾘﾝｸ[jpeg]:i.imgur.com
856(3): 2024/08/17(土)22:35 ID:R8NkdBxP(5/6) AAS
圏論が研究目的ではない、代数、幾何を構築するための道具
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