[過去ﾛｸﾞ] 大学学部レベル質問スレ 27単位目 (1002ﾚｽ)
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295(7): 2024/07/02(火)15:45 ID:sPBBtPN8(1/25) AAS
集合 A に対する命題 P(A) を以下のように定義する。
P(A)：φ∈A かつ (∀x∈A s.t. x∪{x}∈A).
自然数全体の集合 N が次の性質を持つことは既知とする。
(1) P(N) は真である。
(2) ∀A⊂N s.t. ( (A≠φ かつ P(A)) ⇒ A＝N ).
(2)は、いわゆる数学的帰納法である。
296(7): 2024/07/02(火)15:47 ID:sPBBtPN8(2/25) AAS
定義：
x∈N に対して S(x)＝x∪{x} と置く。
x∈S(x) かつ {x}⊂S(x) かつ x⊂S(x) が
成り立つことに注意せよ。
補題1：
A は N の空でない任意の部分集合とする。
このとき、次が成り立つ。
省1
297(7): 2024/07/02(火)15:50 ID:sPBBtPN8(3/25) AAS
証明：
B＝{ x∈N｜x∩A＝φ } と置く。明らかに φ∈B である。もし
∀b∈B s.t. S(b)∈B …(1)
が成り立つなら、Nにおける数学的帰納法の原理から、B＝N となる。
すなわち、任意の x∈N に対して x∩A＝φ となる。
しかし、Aは空でないから、a∈A を1つ取れば、
a∈{a}⊂S(a) に注意して、a ∈ S(a)∩A となる。
省7
298(7): 2024/07/02(火)15:52 ID:sPBBtPN8(4/25) AAS
今の段階で、
・ b∈N, b∩A＝φ, S(b)∩A≠φ
が成り立っている。実は b∈A が成り立つ。
実際、S(b)＝b∪{b} なので、S(b)∩A≠φ により
(b∪{b})∩A≠φである。b∩A＝φだったから、
{b}∩A≠φである。よって、b∈A である。
さて、a∈A を任意に取る。もし a∈b ならば、
省3
299(8): 2024/07/02(火)15:54 ID:sPBBtPN8(5/25) AAS
定理1：∀x,y∈N s.t. (¬(x∈y) または ¬(y∈x)).
証明：x,y∈N を任意に取る。A＝{x,y} と置き、
この A に対して補題1を適用すればよい。
定理2：∀z∈N s.t. (¬(z∈z)).
証明：定理1で x＝z, y＝z を適用すればよい。
(オマケ)
定理3：¬(N∈N).
省6
300(1): 2024/07/02(火)16:07 ID:sPBBtPN8(6/25) AAS
>>293
標準的な構成における N においては、
≦ よりも先に狭義の順序 ＜ を定義するのが普通である。
そして、ここでの狭義の順序 ＜ は以下のように定義される。
・ x＜y ⇔_{def} x∈y.
ひとたび ＜ が定義されれば、≦ は以下のように定義される。
・ x≦y ⇔_{def} (x＜y または x＝y).
301: 2024/07/02(火)16:10 ID:sPBBtPN8(7/25) AAS
なお、二項関係 ＜ が以下の性質を満たすときに、
＜ のことを狭義の順序と呼ぶ。
(1) ¬(x＜x).
(2) x＜y ⇒ ¬(y＜x).
(3) (x＜y かつ y＜z) ⇒ x＜z.
従って、＜ のことを狭義の順序として使いたいなら、
その ＜ が上記の(1)〜(3)を満たすことを証明する必要がある。
302: 2024/07/02(火)16:13 ID:sPBBtPN8(8/25) AAS
今回の例では、x∈y のことを x＜y と定義していたので、
次が成り立っていることを証明しておく必要がある。
(1) ∀x∈N s.t. ¬(x∈x).
(2) ∀x,y∈N s.t. (x∈y ⇒ ¬(y∈x)).
(3) ∀x,y,z∈N s.t. ((x∈y かつ y∈z) ⇒ x∈z).
これが証明できていなければ、
x∈y のことを x＜y と表記する正当性がない。
省7
304: 2024/07/02(火)16:21 ID:sPBBtPN8(9/25) AAS
いや、(2)は>>299の定理1そのものか。
(3)は別の帰納法が必要のはず。
311: 2024/07/02(火)17:27 ID:sPBBtPN8(10/25) AAS
>>310
x＜y ⇔_{def} x∈y.
x≦y ⇔_{def} (x＜y または x＝y).
この定義から出発した場合に x≦y と x⊂y の
同値性を示すなら、それはつまり
「x∈y または x＝y」と「x⊂y」が
同値であることを示すということ。
省2
312: 2024/07/02(火)17:33 ID:sPBBtPN8(11/25) AAS
ちなみに、それが示せたとしても、
(*)「x<yとx≧yでないが同値である」
はすぐには分からない。
実際、UTyjqEFh が期待するところの同値性を
加味した上で、(*)は
(**)「x∈y」と「 x⊃y でない 」が同値である
という意味になる。
省2
313(1): 2024/07/02(火)17:35 ID:sPBBtPN8(12/25) AAS
実際に(**)の同値性を検証してみよう。
x∈y が成り立つとする。x⊃y でないことを示したい。
背理法を使う。もし x⊃y ならば、これと x∈y から、
x∈y⊂x すなわち x∈x となる。
↑このように、(**)の同値性を示す途中で x∈x に遭遇してしまう。
よって、先に ¬(x∈x) が証明できてなければならない。
しかし、¬(x∈x) を証明するより先に
省2
321: 2024/07/02(火)20:33 ID:sPBBtPN8(13/25) AAS
で、この文脈において、君は今回、>>317において
「 ¬(x∈x) を先に証明しとけばいい」
と発言したわけ。しかし、まさにその部分を(**)で
質問してるのが話の前提なんだよ。つまり君は、
「どうやって ¬(x∈x) を証明すればいいの？」
という質問に対して、
省4
322: 2024/07/02(火)20:37 ID:sPBBtPN8(14/25) AAS
ちなみに、
「どうやって ¬(x∈x) を証明すればいいの？」
という質問に対して、 まさしく ¬(x∈x) を
直接証明しているのが>>295-299なので、
この時点で話は終わっている。
実際、発端となった ID:8e/gxRJc は、
>>295-299を読んで納得し、彼なりに証明を清書して、
省1
323(1): 2024/07/02(火)20:41 ID:sPBBtPN8(15/25) AAS
一方で、この>>295-299のアプローチとは別に、ID:UTyjqEFh は
「 >>310のように考えても解決するのでは？」
と言っていたわけ。となれば、文脈上は、
「>>310が先に示せれば、それで ¬(x∈x) が証明できるぞ」
と言っていることになる。あるいは、
省2
324: 2024/07/02(火)20:44 ID:sPBBtPN8(16/25) AAS
ところが、フタを開けてみれば、>>310の方針を完遂するためには、
「 ¬(x∈x) を先に証明しなければならない 」
ことが発覚している。この時点で、
>310の方針は企画倒れとなる。君はそこで、
「それなら ¬(x∈x) を先に証明すればいい」
と反論したわけだが、それだと、
省4
330: 2024/07/02(火)21:35 ID:sPBBtPN8(17/25) AAS
>>329
＞Sx∈Sxならばx∈xで
そこが簡単には言えないから>>295-299のようにするってこと。
まあ>>295-299以外にも方法はあるけどね。
340(1): 2024/07/02(火)22:31 ID:sPBBtPN8(18/25) AAS
>>339
それはつまり、「x∈y または x＝y」と「x⊂y」が
同値であることを示すということ。もちろん、これは示せる。
だが、それはそれで別の帰納法が必要。
それらを全て前提とした上で
＞Sx∈Sxならばx∈xで、∅∉∅なんだから、x∉xなのは当たり前じゃん
と発言しているなら、確かに ¬(x∈x) は「当たり前」になる。
省4
344(2): 2024/07/02(火)23:03 ID:sPBBtPN8(19/25) AAS
>>343
じゃあ x≦y と x⊂y の同値性を証明してみてよ。
正しく証明できたら、それはそれで
「 ¬(x∈x)をどうやって証明するのか？」
に対する別の証明法を君が提示できたことになる。
346(1): 2024/07/02(火)23:17 ID:sPBBtPN8(20/25) AAS
>>345
なんだ、自分では証明する気がないくせに、
横から口を挟んでテキトーなことを言ってただけか。
348: 2024/07/02(火)23:35 ID:sPBBtPN8(21/25) AAS
ここまでのまとめ。
君：Sx∈Sxならばx∈xで、∅∉∅なんだから、x∉xなのは当たり前 (>329)
俺：「S(x)∈S(x)ならばx∈x」は簡単には示せない。
実際、「x∈y∈x」から「x∈x」を導出する部分に
大きなギャップがある。(>335)
君：そこはx≦yとx⊂yの同値性を使えばいいじゃん。(>339)
俺：x≦yとx⊂yが同値であることは自明ではなく、証明が必要。
省5
351: 2024/07/02(火)23:40 ID:sPBBtPN8(22/25) AAS
明らかに、意味が分からないのは君の方。
君が自分で披露した中途半端な証明にはギャップが
存在していて、そのギャップを埋めるのには
「x≦yとx⊂yが同値」
という別の非自明な結果が必要で、
君は結局、そっちを証明する気がないのだから、
これではギャップを埋めたことにならない。
352: 2024/07/02(火)23:41 ID:sPBBtPN8(23/25) AAS
もしかしたら、
「自分で証明しなくても、そのへんの教科書に載ってるだろ」
と言いたいのかもしれない。
しかし、それなら ¬(x∈x) の証明だって教科書に載っている。
つまり、「教科書に載ってるだろ」というスタンスを持ち出すなら、
中途半端に
「Sx∈Sxならばx∈xで、∅∉∅なんだから、x∉xなのは当たり前」
省3
354: 2024/07/02(火)23:49 ID:sPBBtPN8(24/25) AAS
>>349
＞よく見たらy∈z⇒y⊂zのことなんだから、
＞ℕを定義したら初っ端に証明しとけばいいじゃん
実際、「x∈y∈x」から「x∈x」を導出する部分については
「y∈z⇒y⊂z」だけで行ける。従って、君が「y∈z⇒y⊂z」の
証明をここに披露するのであれば、それはそれで
「 ¬(x∈x)をどうやって証明するのか？」
省9
355(1): 2024/07/02(火)23:54 ID:sPBBtPN8(25/25) AAS
>>353
＞最初にあの同値を示す手順で進めるのに何か問題があるの？
その同値性は自明ではないので、証明が必要。
そして、君は証明する気がない。
つまり、君の証明はギャップを抱えたまま。
「どこがギャップなんだ。教科書に載ってる事実なんだから、
疑いようがないだろ」
省4
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