[過去ﾛｸﾞ] 大学学部レベル質問スレ 27単位目 (1002ﾚｽ)
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249: 2024/07/01(月)13:14 ID:U3onn7md(1/12) AAS
田中一之、鈴木登志雄著『数学のロジックと集合論』
この本はかなりいい本だと思いますが、なぜ話題にならず絶版になったのでしょうか？
253: 2024/07/01(月)19:41 ID:U3onn7md(2/12) AAS
田中一之、鈴木登志雄著『数学のロジックと集合論』
第2章の自然数の理論のところですが、結局これどうやって示すんだろう？という根本的なところは公理にしてしまうんですね。
それでも、よく知っている命題がどうやって証明されるのかを見るのはつまらなくはないですが。
254: 2024/07/01(月)19:42 ID:U3onn7md(3/12) AAS
印象としては、よい公理を設定しているだけですね。
255(1): 2024/07/01(月)20:14 ID:U3onn7md(4/12) AAS
田中一之、鈴木登志雄著『数学のロジックと集合論』
「
次の補題は、 < について、 m と m + 1 の間にはいる自然数がないことを示す。
補題2.8 m < n → m + 1 ≦ n.
」
m と m + 1 の間にはいる自然数がないことを示すには、
m < n → 「n < m + 1」は成り立たない
省1
256(1): 2024/07/01(月)20:17 ID:U3onn7md(5/12) AAS
「
定理2.9 三分律 m < n ∨ m = n ∨ n < m が成り立つ。
」
これも3つのうち一つのみが成り立つとは書いていません。
その後のページを見ても一つのみが成り立つということは書いていません。
これで大丈夫なんですか？
257: 2024/07/01(月)20:22 ID:U3onn7md(6/12) AAS
のちの章で正則性公理というのが登場すると書いてあって、正則性公理によると m ∈ n かつ n ∈ m は成り立たないことが示せるそうです。
ですが、このことが書いてあるのでは、ペアノの公理の m' = n' → m = n を証明する1つのやり方として、正則性公理を使うやり方があるという注意書きの中です。
これを使えば証明できますが、ともかく、3つのうちの一つのみが成り立つことには一切触れられていません。
258: 2024/07/01(月)20:24 ID:U3onn7md(7/12) AAS
なんかこれは公理（例えば正則性公理）を使わないと証明できないような気がします。
259: 2024/07/01(月)20:24 ID:U3onn7md(8/12) AAS
ペアノの公理の m' = n' → m = n については、正則性公理を使わない証明法が紹介されています。
260: 2024/07/01(月)20:27 ID:U3onn7md(9/12) AAS
「
定理2.9 三分律 m < n ∨ m = n ∨ n < m が成り立つ。
」
の証明をまだ読んでいないのですが、もしかしたら、その証明から簡単に3つのうちの一つのみが成り立つことも分かるかもしれません。
あとで読んでみます。
262(1): 2024/07/01(月)20:39 ID:U3onn7md(10/12) AAS
>>261
後者の性質を使っているところはないと思いますが、そもそもの発端は、
「
次の補題は、 < について、 m と m + 1 の間にはいる自然数がないことを示す。
補題2.8 m < n → m + 1 ≦ n.
」
という記述です。
省8
263: 2024/07/01(月)20:41 ID:U3onn7md(11/12) AAS
別の言い方をすると、
「補題2.8 m < n → m + 1 ≦ n.」
↑これが示せたからと言って、 m と m + 1 の間にはいる自然数がないことを示したことにはならないのではないか？
264: 2024/07/01(月)20:45 ID:U3onn7md(12/12) AAS
松坂和夫著『代数系入門』の後ろのところに証明が載っているようなので、見てみようと思います。
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