[過去ﾛｸﾞ] 大学学部レベル質問スレ 27単位目 (1002ﾚｽ)
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272(1): 2024/07/02(火)09:52 ID:8e/gxRJc(1/21) AAS
>>265
それを証明しなければなりません。
>>266-267
ありがとうございます。
>>268
>>269-270
∀x (x < x でない) ことを証明しなければなりません。
省12
273: 2024/07/02(火)10:06 ID:8e/gxRJc(2/21) AAS
訂正します：
>>265
それを証明しなければなりません。
>>266-267
ありがとうございます。
>>268
>>269-270
省11
274: 2024/07/02(火)10:07 ID:8e/gxRJc(3/21) AAS
訂正します：
>>265
それを証明しなければなりません。
>>266-267
ありがとうございます。
>>268
>>269-270
省11
275(2): 2024/07/02(火)10:08 ID:8e/gxRJc(4/21) AAS
訂正します：
>>265
それを証明しなければなりません。
>>266-267
ありがとうございます。
>>268
>>269-270
省11
276: 2024/07/02(火)10:27 ID:8e/gxRJc(5/21) AAS
>>266-267
{x ∈ N : x ∈ x でない} = N であることを証明するのは、やはりそんなに簡単ではないということみたいですね。
277(1): 2024/07/02(火)10:33 ID:8e/gxRJc(6/21) AAS
田中一之、鈴木登志雄著『数学のロジックと集合論』
この集合論の紹介的な本で↓を証明していないのは結構面倒だからではないかと思います。
m < n ∨ m = n ∨ n < m の一つのみが成り立つ。
279(1): 2024/07/02(火)10:39 ID:8e/gxRJc(7/21) AAS
あ、Karel Hrbacek and Thomas Jech著『Introduction to Set Theory』という本に以下の演習問題がありました。
Exercise 1.1 x ⊂ S(x) and there is no z such that x ⊂ z ⊂ S(x) という演習問題がありました。
ということは簡単なんだと思います。
S(x) = x ∪ {x} です。
280: 2024/07/02(火)10:45 ID:8e/gxRJc(8/21) AAS
>>279
訂正します：
あ、Karel Hrbacek and Thomas Jech著『Introduction to Set Theory』という本に以下の演習問題がありました。
Exercise 1.1 x ⊆ S(x) and there is no z such that x ⊂ z ⊂ S(x) という演習問題がありました。
ということは簡単なんだと思います。
省1
281: 2024/07/02(火)10:50 ID:8e/gxRJc(9/21) AAS
x と S(x) では後者が前者よりも元の数が1つだけ多いですね。
282: 2024/07/02(火)10:51 ID:8e/gxRJc(10/21) AAS
あ、それをいうためには x ∈ x でないことを言わないとダメですね。
284(1): 2024/07/02(火)11:53 ID:8e/gxRJc(11/21) AAS
m, n ∈ N とする。
m < n の定義は m ∈ n です。
286(1): 2024/07/02(火)12:43 ID:8e/gxRJc(12/21) AAS
>>285
それは何か公理を使っていますよね。
この本では、問題の箇所のところまでに登場している公理は帰納的な集合が存在するという公理のみです。
289: 2024/07/02(火)12:46 ID:8e/gxRJc(13/21) AAS
>>287
N の部分集合が空でなければ最小元を持つということも問題の箇所までで証明していません。
290: 2024/07/02(火)12:51 ID:8e/gxRJc(14/21) AAS
Karel Hrbacek and Thomas Jech著『Introduction to Set Theory』という本に以下の演習問題があったので、その前のところを読めばどんな公理が必要かは分かると思います。
ですので、この本を少し読んでみようと思います。
Exercise 1.1 x ⊆ S(x) and there is no z such that x ⊂ z ⊂ S(x)
291: 2024/07/02(火)12:55 ID:8e/gxRJc(15/21) AAS
田中さんらの本はあくまで自然数の話をどうやって集合論を使ってするかということの紹介を目的にしているので記述が中途半端になっているのかもしれません。
305: 2024/07/02(火)17:11 ID:8e/gxRJc(16/21) AAS
>>295-299
ありがとうございました。
ところで、「s.t.」の使い方がよく分かりませんでした。このような使い方は一般的なんですか？
306: 2024/07/02(火)17:13 ID:8e/gxRJc(17/21) AAS
補題1:
∅ ≠ A ⊂ N とする。
∃a0 ∈ A such that a ∉ a0 for any a ∈ A が成り立つ。
証明:
B := {x ∈ N : x ∩ A = ∅} とおく。
∃b ∈ B such that S(b) ∩ A ≠ ∅ が成り立つことを背理法で以下に示す。
S(b) ∩ A = ∅ for any b ∈ B が成り立つと仮定する。
省9
307: 2024/07/02(火)17:13 ID:8e/gxRJc(18/21) AAS
b ∈ B = {x ∈ N : x ∩ A = ∅} だから、
b ∈ N かつ b ∩ A = ∅ かつ S(b) ∩ A ≠ ∅ である。
∅ ≠ S(b) ∩ A = (b ∪ {b}) ∩ A = (b ∩ A) ∪ ({b} ∩ A) = ∅ ∪ ({b} ∩ A) = {b} ∩ A である。
よって、 b ∈ A である。
a ∉ b for any a ∈ A が成り立つことを背理法で以下に示す。
∃a ∈ A such that a ∈ b が成り立つと仮定する。
すると、 a ∈ b ∩ A であるが、これは b ∩ A = ∅ に矛盾する。
省2
308(1): 2024/07/02(火)17:13 ID:8e/gxRJc(19/21) AAS
定理1:
x ∉ x for any x ∈ N が成り立つ。
証明:
x ∈ N とする。
A := {x} とする。
∅ ≠ A ⊂ N である。
補題1により、 ∃a0 ∈ A such that a ∉ a0 for any a ∈ A が成り立つ。
省2
309: 2024/07/02(火)17:17 ID:8e/gxRJc(20/21) AAS
補題1は自然数の空でない部分集合には極小元が存在するという命題ですね。
315(1): 2024/07/02(火)18:57 ID:8e/gxRJc(21/21) AAS
それでは、 m と m + 1 の間にはいる自然数がないことを証明します。
∃m, n ∈ N such that m < n < m + 1 が成り立つと仮定する。
補題2.8により、 m < n → m + 1 ≦ n が成り立つ。
m + 1 = n が成り立つとすると、 m + 1 = n < m + 1 となり矛盾するから、 m + 1 ≠ n である。
よって、 m + 1 < n が成り立つ。 n < m + 1 だから、定理2.6（推移律）により、 m + 1 < m + 1 となり矛盾する。
よって、 m < n < m + 1 を満たすような m, n ∈ N は存在しない。
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