[過去ﾛｸﾞ] 大学学部レベル質問スレ 27単位目 (1002ﾚｽ)

大学学部レベル質問スレ 27単位目 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/

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1: １３２人目の素数さん [sage] 2024/06/14(金) 06:03:06.26 ID:k5OAMAI4 大学で習う数学に関する質問を扱うスレ ・質問する前に教科書や参考書を読むなりググるなりして ・ただの計算は http://wolframalpha.com ・数式の表記法は http://mathmathmath.dotera.net ・質問のマルチポストは非推奨 ・煽り、荒らしはスルー ※前スレ 大学学部レベル質問スレ 26単位目 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1712455912/ 大学学部レベル質問スレ 25単位目 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1706199058/ 大学学部レベル質問スレ 24単位目 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703434188/ 大学学部レベル質問スレ 23単位目 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1693982722/ 大学学部レベル質問スレ 22単位目 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1683623006/ 大学学部レベル質問スレ 21単位目 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1675998924/ 大学学部レベル質問スレ 20単位目 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1669086920/ 大学学部レベル質問スレ 19単位目 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1659623368/ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/1

141: １３２人目の素数さん [sage] 2024/06/22(土) 12:35:42.91 ID:E92IHurB >>138 どうして不定積分ではだめなんですか？ F(x)=∫f(x)dxなら ∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a) って高校生の時習いましたよ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/141

165: １３２人目の素数さん [sage] 2024/06/26(水) 04:48:57.28 ID:raIOCByA 実数上の連続かつ可換かつ結合的な二項演算って分類されてたりするんかな 加法、乗法、min、それらをRの同相で動かしたもの 以外にどんなのがあるんだろう？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/165

221: １３２人目の素数さん [] 2024/06/29(土) 19:12:33.91 ID:OV7p+SG5 >>220 訂正します。 A, B を可算無限な全順序集合で最大元、最小元を持たず稠密であるとする。 A と B は順序同形である。 この定理の証明でカントールの往復論法という論法が使われています。 この癖のある論法を使う理由は、全射であることを保証するためですか？ A = {a_1, a_2, …} B = {b_1, b_2, …} とする。 c_1 := b_1 とする。 a_1 < a_2 ならば i ∈ {i : b_1 < b_i} とし、 c_2 := b_i とする。 a_1 > a_2 ならば i ∈ {i : b_1 > b_i} とし、 c_2 := b_i とする。 a_1, a_2 を昇順にソートしたものを新しく a_1, a_2 とする。 c_1, c_2 を昇順にソートしたものを新しく b_1, b_2 とする。 a_2 < a_3 ならば i ∈ {i : b_2 < b_i} とし、 c_3 := b_i とする。 a_3 < a_1 ならば i ∈ {i : b_i < b_1} とし、 c_3 := b_i とする。 a_1 < a_3 < a_2 ならばi ∈ {i : b_1 < b_i < b_2} とし、 c_3 := b_i とする。 a_1, a_2, a_3 を昇順にソートしたものを新しく a_1, a_2, a_3 とする。 c_1, c_2, c_3 を昇順にソートしたものを新しく b_1, b_2, b_3 とする。 これをずっと続けると、 f : a_i → b_i は A から f(A) ⊂ B への順序同形写像である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/221

223: １３２人目の素数さん [] 2024/06/30(日) 00:35:37.34 ID:98eGIGX2 f(1) := min C と定義する。 n > 1 に対しては、 f(n) := min C - {f(1), …, f(n-1)} と定義する。 とだけ書いて、そのような f : N → C が存在すること自体は証明しません。 これってありですか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/223

237: １３２人目の素数さん [] 2024/06/30(日) 11:15:55.11 ID:98eGIGX2 (Q, 0, +, <) と (Q^+, 1, ✕, <) は同形になるか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/237

265: １３２人目の素数さん [sage] 2024/07/01(月) 20:53:14.63 ID:RJWpETYz >>262 a<bの定義ってb≦aの否定じゃないの？ 読んでないから知らんけど http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/265

266: １３２人目の素数さん [sage] 2024/07/01(月) 20:54:11.44 ID:Jrzvuq5Y 「m ∈ n かつ n ∈ m」が成り立たないことを 一般の集合 n,m に対して示そうとすると、 正則性公理(あるいはその代替)が必要になる。 しかし、ωを最小の極限順序数(いわゆる自然数)とするとき、 n,m∈ω の場合なら、そういう公理は必要なくて、 普通に証明できる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/266

267: １３２人目の素数さん [sage] 2024/07/01(月) 21:01:21.36 ID:5GDtBnQG 今回はωの話だからωに限定しているが、一般には、 n,m が順序数であれば、余計な公理を増設せずに証明できる。 証明のやり方は超限帰納法を使うのだが、 先に順序数のいくつかの性質を証明しておく必要があるので、 そんなすぐに証明できるものではない。 ωに限定した場合の証明は、ωまでの超限帰納法(＝通常の数学的帰納法) を使えばよいが、これも、先にいくつかの性質を証明しておく必要がある。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/267

268: １３２人目の素数さん [sage] 2024/07/01(月) 22:27:18.72 ID:D8AjG8Sq n<m→n+1≦m とし m< a< m+1 とする m<a より m+1≦a ∴ a<a http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/268

269: １３２人目の素数さん [] 2024/07/01(月) 23:35:08.00 ID:VjX1Q1EC >>255 >補題2.8 m < n → m + 1 ≦ n. これが証明されてるんなら m<k<m+1となる自然数が存在するとすると矛盾になるでしょ m<kからm+1≦k<m+1になるよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/269

270: １３２人目の素数さん [] 2024/07/01(月) 23:36:58.37 ID:VjX1Q1EC てか+1の定義からほぼほぼ自明だけどね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/270

271: １３２人目の素数さん [] 2024/07/02(火) 01:50:27.99 ID:1VP938GM もう少し集合論の勉強を勧めたら、超限帰納法、超限帰納法による関数の定義、その応用として順序数の和・積・べき、基数の定義、集合の階層、へと進めるぞ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/271

295: １３２人目の素数さん [sage] 2024/07/02(火) 15:45:12.39 ID:sPBBtPN8 集合 A に対する命題 P(A) を以下のように定義する。 P(A)：φ∈A かつ (∀x∈A s.t. x∪{x}∈A). 自然数全体の集合 N が次の性質を持つことは既知とする。 (1) P(N) は真である。 (2) ∀A⊂N s.t. ( (A≠φ かつ P(A)) ⇒ A＝N ). (2)は、いわゆる数学的帰納法である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/295

296: １３２人目の素数さん [sage] 2024/07/02(火) 15:47:34.39 ID:sPBBtPN8 定義： x∈N に対して S(x)＝x∪{x} と置く。 x∈S(x) かつ {x}⊂S(x) かつ x⊂S(x) が 成り立つことに注意せよ。 補題1： A は N の空でない任意の部分集合とする。 このとき、次が成り立つ。 ∃a_0∈A, ∀a∈A s.t. ¬(a∈a_0). http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/296

297: １３２人目の素数さん [sage] 2024/07/02(火) 15:50:30.38 ID:sPBBtPN8 証明： B＝{ x∈N｜x∩A＝φ } と置く。明らかに φ∈B である。もし ∀b∈B s.t. S(b)∈B …(1) が成り立つなら、Nにおける数学的帰納法の原理から、B＝N となる。 すなわち、任意の x∈N に対して x∩A＝φ となる。 しかし、Aは空でないから、a∈A を1つ取れば、 a∈{a}⊂S(a) に注意して、a ∈ S(a)∩A となる。 すなわち、S(a)∩A≠φである。また、a∈A⊂N により、S(a)∈N である。 よって、x＝S(a) に対して、 ・ x∈N かつ x∩A≠φ である。これは矛盾。よって、(1)は成り立たない。 よって、ある b∈B に対して¬(S(b)∈B) である。 b∈B なので b∩A＝φである。また、b∈N なので S(b)∈N であり、 これと ¬(S(b)∈B) から、S(b)∩A≠φである。(続く) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/297

298: １３２人目の素数さん [sage] 2024/07/02(火) 15:52:42.65 ID:sPBBtPN8 今の段階で、 ・ b∈N, b∩A＝φ, S(b)∩A≠φ が成り立っている。実は b∈A が成り立つ。 実際、S(b)＝b∪{b} なので、S(b)∩A≠φ により (b∪{b})∩A≠φである。b∩A＝φだったから、 {b}∩A≠φである。よって、b∈A である。 さて、a∈A を任意に取る。もし a∈b ならば、 これと a∈A から a∈A∩b となるが、 A∩b＝φだったから矛盾。よって、¬(a∈b) が 成り立つ。以上により、この b が求める a_0 である。■ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/298

299: １３２人目の素数さん [sage] 2024/07/02(火) 15:54:30.29 ID:sPBBtPN8 定理1：∀x,y∈N s.t. (¬(x∈y) または ¬(y∈x)). 証明：x,y∈N を任意に取る。A＝{x,y} と置き、 この A に対して補題1を適用すればよい。 定理2：∀z∈N s.t. (¬(z∈z)). 証明：定理1で x＝z, y＝z を適用すればよい。 (オマケ) 定理3：¬(N∈N). 証明：以下の証明はトンチのような証明であり、とても気持ち悪い。 もし N∈N が成り立つなら、x＝N に対して x∈N となるので、定理2 から ¬(x∈x) が成り立つ。 x＝N だったから、¬(N∈N) が成り立つ。 しかし、N∈N だったから矛盾する。 以上により、¬(N∈N) が成り立つ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/299

310: １３２人目の素数さん [sage] 2024/07/02(火) 17:21:38.89 ID:UTyjqEFh >>300 それならx≦yがx⊂yと同値なことを示すだけで、x<yとx≧yでないが同値であることはすぐ分かるんじゃないの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/310

329: １３２人目の素数さん [sage] 2024/07/02(火) 21:23:12.24 ID:fVUU8q5M Sx∈Sxならばx∈xで、∅∉∅なんだから、x∉xなのは当たり前じゃん http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/329

364: １３２人目の素数さん [sage] 2024/07/03(水) 00:56:32.13 ID:IVSi7hBR 自分で証明してみてどうしてもできなかったらその時に言ってくれ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/364

392: １３２人目の素数さん [sage] 2024/07/03(水) 03:22:38.84 ID:NJQKt/+9 なので、以下では君が証明できずに逃げ回っていた部分を証明する。 君の証明が機能するためには、[y∈z ⇒ y⊂z] が証明できれば十分。 定理：∀x,y∈N s.t. (x∈y ⇒ x⊂y). 証明： A＝{y∈N｜∀x∈N s.t. (x∈y ⇒ x⊂y)} と置く。A＝N を示せばよい。 まずはφ∈Aを示す。∀x∈N s.t. (x∈φ ⇒ x⊂φ)を示せばよい。 x∈φ は常に偽なので、(x∈φ ⇒ x⊂φ) は真である(空虚な真)。 よって、確かにφ∈A である。次に、y∈A とする。S(y)∈A を示す。 ∀x∈N s.t. (x∈S(y) ⇒ x⊂S(y))を示せばよい。 x∈S(y) とする。S(y)＝y∪{y} なので、x∈y または x＝y である。 x∈y のときは、仮定 y∈A により、x⊂y である。また、y⊂S(y) である。 よって x⊂S(y) である。x＝y のときは、自明に x⊂S(y) である。 よって、確かに S(y)∈A である。よって、A＝N である。■ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/392

400: １３２人目の素数さん [] 2024/07/03(水) 09:37:49.46 ID:zvdEfHFF 1+1=2を厳密に証明するのはすごく難しいというのを聞いたんですが、やってみてくれませんか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/400

575: １３２人目の素数さん [sage] 2024/07/18(木) 16:09:12.05 ID:37W/vGD3 超難問。天才の皆様助けて！ 体積630mlの高さ10cmの円柱の円の直径を教えてください。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/575

603: １３２人目の素数さん [] 2024/07/23(火) 23:32:42.98 ID:Q2TU2dcH 結局、三角形上で線積分してもいいし面積分しても良いのですか？ 出題する側は何も気を使わなくてよい、と。 線績分の問題と面積分の問題を同時に出すときは区別しなくても回答者に委ねて文句は言わさないスタンスでokですか？ あるいは、∂△ABCで線積分？　中身は閉包でもないし…。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/603

696: １３２人目の素数さん [sage] 2024/08/08(木) 11:19:54.84 ID:6AkNAUtS K: 体, V: Kベクトル空間. f, g_1, …, g_n: V→K: linear. とする. このとき以下を示せ. ∩[i=1, …, n]Ker(g_i)⊂Ker(f)⇔∃λ_1, …, λ_n∈K, f+Σ[i=1, …, n]λ_i*g_i=0. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/696

729: １３２人目の素数さん [sage] 2024/08/09(金) 20:12:21.62 ID:0BOL65sS >>728 https://i.imgur.com/67TnuUN.jpeg http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/729

856: １３２人目の素数さん [sage] 2024/08/17(土) 22:35:31.82 ID:R8NkdBxP 圏論が研究目的ではない、代数、幾何を構築するための道具 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1718312586/856

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