[過去ﾛｸﾞ] 数学の本 第98巻 (1002ﾚｽ)
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466(3): 2024/06/21(金)19:42 ID:J+tHJxbN(1) AAS
H. L. Royden著『Real Analysis Third Edition』

やっとまともな問題に出会いました。

Problem 32.
Let Y be the set of ordinals less than the first uncountable ordinal; i.e., Y = {x ∈ X : x < Ω}. Show that every countable subset E of Y has an upper bound in Y and hence a least upper bound.

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472(1): 2024/06/22(土)13:31 ID:31IeRiT6(2/6) AAS
>>466

X は以下の集合です。

Proposition: There is an uncountable set X that is well ordered by a relation < in such a way that:

i. There is a last element Ω in X.
ii. If x ∈ X and x ≠ Ω, then the set {y ∈ X : y < x} is countable.

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476: 2024/06/22(土)15:12 ID:31IeRiT6(4/6) AAS
>>466

e ∈ E に対して、 S_e := {y ∈ Y : y < e} と定義する。
S_e は高々可算な集合である。
S := ∪_{e ∈ E} S_e は高々可算な集合の高々可算個の和集合であるから高々可算な集合である。
Y は非可算集合であるから、 Y - S は非可算集合である。
t := min(Y - S) とする。
t < e を満たす e ∈ E は存在しない。
省4

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477: 2024/06/22(土)15:17 ID:31IeRiT6(5/6) AAS
訂正します：

>>466

e ∈ E に対して、 S_e := {y ∈ Y : y < e} と定義する。
S_e は高々可算な集合である。
S := ∪_{e ∈ E} S_e は高々可算な集合の高々可算個の和集合であるから高々可算な集合である。
Y は非可算集合であるから、 Y - S は非可算集合である。よって空集合ではない。
t := min(Y - S) とする。
省5

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