[過去ﾛｸﾞ] 数学の本 第98巻 (1002ﾚｽ)
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703(2): 2024/07/19(金)13:24 ID:j90Px0SJ(1/8) AAS
佐武一郎著『線型代数学』
n 次元ベクトルの列 a_1, …, a_r を考える。
A := (a_1, …, a_r) とする。
A の n 個の行から r 個の行を選び出して作った r 次の行列式の中にゼロでないものが存在するとする。
{i_1, …, i_s} ⊂ {1, …, r} とする。
B := a_{i_1], …, a_{i_s} とする。
このとき、
省2
705(2): 2024/07/19(金)13:35 ID:j90Px0SJ(2/8) AAS
>>703
の証明は以下で合っていますか？
{j_1, …, j_t} := {1, …, r} - {i_1, …, i_s} とする。
C := (a_{i_1], …, a_{i_s}, a_{j_1}, …, a_{j_t}} とする。
C の n 個の行から r 個の行を選び出して作った r 次の行列のうちその行列式がゼロでないものを C_1 とする。
0 ≠ det C_1 を第 r 列に関して展開すると r 個出てくる r-1 次の行列式のうち少なくても一つはゼロではない。そのゼロではない行列式の元となった行列を C_2 とする。
0 ≠ det C_2 を第 r-1 列に関して展開すると r-1 個出てくる r-2 次の行列式のうち少なくても一つはゼロではない。そのゼロではない行列式の元となった行列を C_3 とする。
省3
709: 2024/07/19(金)16:35 ID:j90Px0SJ(3/8) AAS
>>708
どこが間違っているのでしょうか？
間違っていないと思います。
710(1): 2024/07/19(金)16:38 ID:j90Px0SJ(4/8) AAS
佐武一郎著『線型代数学新装版』
p.98 定理２の別証中で、(I), (II)を証明しています。
ですが、必要なのは(II)だけではないでしょうか？
なぜ、(I)が必要だと佐武一郎さんは書いているのですか？
712(3): 2024/07/19(金)17:02 ID:j90Px0SJ(5/8) AAS
定理２は以下です：
m 個の n 次元ベクトル a_j = (a_{ij}) (1 ≦ j ≦ m) が一次独立であるための必要十分な条件は、 m ≦ n かつ (n, m) 行列 A = (a_{ij}) の n 個の行から m 個の行をえらびだして作った m 次の行列式の中に ≠ 0 なるものが存在することである。
定理２の別証ですが、まず「強い意味で一次独立である」という用語を定義しています。
m ≦ n かつ (n, m) 行列 A = (a_{ij}) の n 個の行から m 個の行をえらびだして作った m 次の行列式の中に ≠ 0 なるものが存在するとき、 m 個の n 次元ベクトル a_j = (a_{ij}) (1 ≦ j ≦ m) は「強い意味で一次独立である」と定義しています。
a_1, …, a_m が強い意味で一次独立ならばそれらが一次独立であることは簡単に分かります。
佐武一郎さんは、 a_1, …, a_m が一次独立ならばそれらが強い意味で一次独立であることを証明しています。
省6
713: 2024/07/19(金)17:05 ID:j90Px0SJ(6/8) AAS
定理2を証明するのに、(I)は使っていないように見えます。
714: 2024/07/19(金)17:10 ID:j90Px0SJ(7/8) AAS
>>703
は定理2の別証の(I)です。
(I)の証明が
>>705
です。
717: 2024/07/19(金)20:49 ID:j90Px0SJ(8/8) AAS
やはり、(I)は使っていませんよね。
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