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138(5): 2024/09/02(月)00:04 ID:r5LsnxqT(1/2) AAS
数列{a_n}と{b_n}がlim(a_n-b_n)=0を満たすとき
連続関数fに対してlim(f(a_n)-f(b_n))=0は言えますか？
140: 2024/09/02(月)00:43 ID:82PpvIdl(1/2) AAS
>>138
a_n=√(n+1), b_n=√n, f(x) = cos(πxx) のとき
a_n - b_n = 1/(a_n + b_n) < 1/(2√n) → 0 (n→∞)
f(a_n) = cos(π(n+1)) = −cos(πn) =−(-1)^n,
f(b_n) = cos(πn) = (-1)^n,
｜f(a_n) ー f(b_n)｜ = 2.
141(1): 2024/09/02(月)00:54 ID:82PpvIdl(2/2) AAS
>>138
a_n=√(n+1), b_n=√n, f(x) = e^{xx} のとき
a_n - b_n = 1/(a_n + b_n) < 1/(2√n) → 0 (n→∞)
f(a_n) ー f(b_n) = e^{n+1} − e^n = (e-1) e^n → ∞ (n→∞)
146: 2024/09/02(月)10:33 ID:EcGk7bQF(2/4) AAS
>>143
fが一様連続でなければδ>0が存在して、任意の自然数n>0に対して|a_n-b_n|<1/n、|f(a_n)-f(b_n)|>δとなるようなa_n、b_nが存在する。
数列{a_n}、{b_n}が>>138の反例を与える。
上は一様連続の定義から直ちに導かれる
147: 2024/09/02(月)10:33 ID:EcGk7bQF(3/4) AAS
>>143
fが一様連続でなければδ>0が存在して、任意の自然数n>0に対して|a_n-b_n|<1/n、|f(a_n)-f(b_n)|>δとなるようなa_n、b_nが存在する。
数列{a_n}、{b_n}が>>138の反例を与える。
上は一様連続の定義から直ちに導かれる
148: 2024/09/02(月)10:33 ID:EcGk7bQF(4/4) AAS
>>143
fが一様連続でなければδ>0が存在して、任意の自然数n>0に対して|a_n-b_n|<1/n、|f(a_n)-f(b_n)|>δとなるようなa_n、b_nが存在する。
数列{a_n}、{b_n}が>>138の反例を与える。
上は一様連続の定義から直ちに導かれる
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