分からない問題はここに書いてね 472 (974ﾚｽ)

分からない問題はここに書いてね 472 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/

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563: １３２人目の素数さん [] 2025/01/30(木) 11:20:34.72 ID:pRf1K41k 杉浦光夫著『解析入門II』 ↓で「f(V) = W とする」などと勝手なことを書いていますが、 f(V) = W をみたすような開集合 V, W を取れることは証明を要しますよね？ U が R^n の開集合、 f: U → R^n は U 上 C^1 級で、一点 a ∈ U において仮定 (2.4) det f'(a) ≠ 0 をみたすとする。 b := f(a) とする。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/563

564: １３２人目の素数さん [] 2025/01/30(木) 11:20:42.98 ID:pRf1K41k C^1 級関数 F : R^n × U →　R^n を (2.6) F(y, x) = f(x) - y によって定義する。このとき (2.7) F(b, a) = 0 である。さらに (2.8) det ∂F/∂x(y, x) = det f'(x) であるから、仮定(2.4)により (2.9) det ∂F/∂x(b, a) ≠ 0 である。(2.7), (2.9)により F は陰関数定理の仮定をみたす。 したがって、点 a, b の開近傍 V (⊂ U), W と、 C^1 級関数 g : W → V 存在して、次の(2.10), (2.11)をみたす。ただし f(V) = W とする。 (2.10) g(b) = a (2.11) x ∈ V, y ∈ W に対して、 y = f(x) ⇔ x = g(y). http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/564

571: １３２人目の素数さん [] 2025/01/30(木) 17:23:42.85 ID:pRf1K41k James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』 p.65 Theorem 8.2. A を R^n の開集合とする。 f : A → R^n を C^r 級の関数とする。 B := f(A) とする。 f が A 上で1対1で det f'(x) ≠ 0 for x ∈ A ならば、 B は R^n の開集合で逆関数 g : B → A は C^r 級の関数である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/571

573: １３２人目の素数さん [] 2025/01/30(木) 17:55:58.09 ID:pRf1K41k この定理を使えば、 >>563 >>564 で述べた問題点を解決できます。 f は U 上 C^1 級で、 det f'(a) ≠ 0 だから、 a を含む開集合 U' ⊂ U で、 det f'(x) ≠ 0 for any x ∈ U' をみたすものが存在する。 >>563 >>564 の U をこの U' で置き換える。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/573

574: １３２人目の素数さん [] 2025/01/30(木) 17:56:29.12 ID:pRf1K41k y = f(g(y)) for any y ∈ W であるから、チェインルールにより、 I_n = f'(g(y)) * g'(y) である。 よって、 det g'(y) ≠ 0 for any y ∈ W である。 また、 y = f(g(y)) であるから、 g は W 上で1対1である。 よって、 >>571 の定理により、 g(W) ⊂ V は開集合である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/574

575: １３２人目の素数さん [] 2025/01/30(木) 17:56:36.58 ID:pRf1K41k x ∈ g(W) とする。 x = g(w) for some w ∈ W である。 g(f(x)) = g(f(g(w))) = g(w) = x である。 よって、 f : g(W) → W と g : W → g(W) の一方は他方の逆写像である。 この開集合 g(W) を改めて V と置けば、 f(V) = W である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/575

576: １３２人目の素数さん [] 2025/01/30(木) 17:58:09.13 ID:pRf1K41k Munkresさんの本に載っている >>571 の定理を使ってやっと杉浦さんの雑な話を正当化できました。 杉浦さんって雑ですよね？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/576

577: １３２人目の素数さん [] 2025/01/30(木) 18:33:35.52 ID:pRf1K41k なんか逆関数定理の証明で一番重要なところでコケていますよね。 「ただし f(V) = W とする。」とか書いて。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/577

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