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563(1): 01/30(木)11:20 ID:pRf1K41k(1/8) AAS
杉浦光夫著『解析入門II』
↓で「f(V) = W とする」などと勝手なことを書いていますが、 f(V) = W をみたすような開集合 V, W を取れることは証明を要しますよね？
U が R^n の開集合、 f: U → R^n は U 上 C^1 級で、一点 a ∈ U において仮定
(2.4) det f'(a) ≠ 0
をみたすとする。
省1
564(1): 01/30(木)11:20 ID:pRf1K41k(2/8) AAS
C^1 級関数 F : R^n × U → R^n を
(2.6) F(y, x) = f(x) - y
によって定義する。このとき
(2.7) F(b, a) = 0
である。さらに
省7
571(2): 01/30(木)17:23 ID:pRf1K41k(3/8) AAS
James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』
p.65 Theorem 8.2.
A を R^n の開集合とする。
f : A → R^n を C^r 級の関数とする。
B := f(A) とする。
f が A 上で1対1で det f'(x) ≠ 0 for x ∈ A ならば、 B は R^n の開集合で逆関数 g : B → A は C^r 級の関数である。
573: 01/30(木)17:55 ID:pRf1K41k(4/8) AAS
この定理を使えば、
>>563
>>564
で述べた問題点を解決できます。
f は U 上 C^1 級で、 det f'(a) ≠ 0 だから、 a を含む開集合 U' ⊂ U で、 det f'(x) ≠ 0 for any x ∈ U' をみたすものが存在する。
>>563
>>564
省1
574: 01/30(木)17:56 ID:pRf1K41k(5/8) AAS
y = f(g(y)) for any y ∈ W であるから、チェインルールにより、 I_n = f'(g(y)) * g'(y) である。
よって、 det g'(y) ≠ 0 for any y ∈ W である。
また、 y = f(g(y)) であるから、 g は W 上で1対1である。
よって、
>>571
の定理により、 g(W) ⊂ V は開集合である。
575: 01/30(木)17:56 ID:pRf1K41k(6/8) AAS
x ∈ g(W) とする。
x = g(w) for some w ∈ W である。
g(f(x)) = g(f(g(w))) = g(w) = x である。
よって、 f : g(W) → W と g : W → g(W) の一方は他方の逆写像である。
この開集合 g(W) を改めて V と置けば、 f(V) = W である。
576: 01/30(木)17:58 ID:pRf1K41k(7/8) AAS
Munkresさんの本に載っている
>>571
の定理を使ってやっと杉浦さんの雑な話を正当化できました。
杉浦さんって雑ですよね？
577: 01/30(木)18:33 ID:pRf1K41k(8/8) AAS
なんか逆関数定理の証明で一番重要なところでコケていますよね。
「ただし f(V) = W とする。」とか書いて。
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