分からない問題はここに書いてね 472 (974ﾚｽ)
分からない問題はここに書いてね 472 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/
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312: １３２人目の素数さん [] 2024/12/26(木) 11:45:05.02 ID:ayQgO3vN R(z, w) が有理式であるとき、 ∫ R(cos(x), sin(x)) dx を計算するのに、 tan(x/2) = t とおくというやり方があります。 R(z, w) = z とします。 ∫ R(cos(x), sin(x)) dx = ∫ cos(x) dx を計算することを考えます。 不定積分の定義により、 a ∈ R を任意に固定したとき、 ∫_{a}^{x} cos(t) dt を計算することになります。 a = 0 とします。 x は R 全体を動きます。 tan(x/2) = t とおいたとき、この変換でカバーできる x の範囲は 2 * π 未満です。 ですが、 x は R 全体を動きます。 これって問題じゃないですか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/312
314: １３２人目の素数さん [] 2024/12/26(木) 12:12:22.21 ID:ayQgO3vN 例えば、 x = 10000 * π の近傍での ∫_{0}^{x} cos(t) dt を計算するとします。 tan(x/2) = t という変換において、 9999 * π < 10000 * π < 10001 * π ですので、 x の範囲を (9999 * π, 10001 * π) に制限して考えます。 ∫_{0}^{x} cos(t) dt = ∫_{0}^{9999 * π} cos(t) dt + ∫_{9999 * π}^{x} cos(t) dt = 定数 + ∫_{9999 * π}^{x} cos(t) dt 考えている x の範囲にかかわらず、 dx/dt = 1 / (dt/dx) = 1 / (1 / (2 * (cos(x/2))^2)) = 2 / (1 + (tan(x/2))^2) = 2 / (1 + t^2) だから、 ∫_{9999 * π}^{x} cos(s) ds = ∫_{-∞}^{t} ((1 - t^2) / (1 + t^2)) * (2 / (1 + t^2)) dt = … = sin(x) + C http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/314
315: １３２人目の素数さん [] 2024/12/26(木) 12:12:33.95 ID:ayQgO3vN この計算結果自体は考えている x の範囲によらず、 sin(x) + 定数となる。 ∫_{0}^{x} cos(t) dt は連続関数であり、 ∫_{0}^{0} cos(t) dt = 0 であるから、考えている x の範囲によらず、 ∫_{0}^{x} cos(t) dt = sin(x) である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/315
316: １３２人目の素数さん [] 2024/12/26(木) 12:22:21.93 ID:ayQgO3vN >>313 ありがとうございます。 杉浦光夫著『解析入門I』は、親切に？いろいろ書かなくてもいいようなことまで説明していますが、不定積分の置換積分については、そのような説明がないです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/316
324: １３２人目の素数さん [] 2024/12/26(木) 19:46:42.78 ID:ayQgO3vN 杉浦光夫著『解析入門I』 p.250 d(Δ) ≦ (d(Δ')^2 + d(Δ'')^2)^{1/2} などという不等式が登場しますが、明らかに d(Δ) = (d(Δ')^2 + d(Δ'')^2)^{1/2} です。 「=」であるのに、「≦」、「≧」を使う理由はありません。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/324
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