分からない問題はここに書いてね 472 (933ﾚｽ)

分からない問題はここに書いてね 472 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/

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229: １３２人目の素数さん [sage] 2024/09/23(月) 00:43:35.04 ID:PuFOgYAw 以下のような問題に読み替える。 ---- n を自然数とする。次のようなゲームを考える。 (※)　 . 確率 1/2 でコスト 1 消費して失敗 . 確率 1/4 でコスト 2 消費して失敗 . 確率 1/8 でコスト 3 消費して失敗 . 確率 1/8 でコスト 3 消費して成功 試行 (※) を繰り返し消費コストの総計が n を超えた時点で終了。最終ゲームは無効として残りの有効なゲーム数を Tₙ、成功回数を Sₙ として lim E(Sₙ/Tₙ) = 1/8 である。 ---- http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/229

230: １３２人目の素数さん [sage] 2024/09/23(月) 00:43:53.99 ID:PuFOgYAw Claim 1 ) P( |Tₙ - 4/7n| > n^(2/3) ) → 0 (∵) 結論を否定すると ε>0 と無限集合 S を . P( |Tₙ - 4/7n| > n^(2/3) ) > ε ( ∀n ∈ S ) となるようにとれる。このとき z>0 を Y が N(0,1) に従うとき . P( |Y| > z ) < ε/2 を満たすようにとれる。 このとき十分大きい N₁ で 任意の n > N₁ で (n^(2/3)-5)/√⌊4/7n⌋ > z となるようにとれる。 さらに CLT より十分大きい N₂ で任意の n > N₂ にたいして . | P( Σ_{k≦4/7n} ( Cₖ - 7/4 )/√⌊4/7n⌋ ≧ z ) - P( Y ≧ z ) | < ε/2 となるようにとれる。N₃ = max{N₁,N₂} とすれば任意の n>N₃ に対して . |Tₙ - 4/7n| > n^(2/3) . → ∃t | t - 4/7n| > n^(2/3) Σ_{k≦t} Cₖ = n,n-1,n-2 . ∧ | Σ_{k≦4/7n} Cₖ - Σ_{k≦t} Cₖ | = Σ_{...} Cₖ ≧ n^(2/3) - 1 . → |Σ_{k≦4/7n} ( Cₖ - 7/4 )| ≧ n^(2/3) - 5 . → Σ_{k≦4/7n} ( Cₖ - 7/4 )/√⌊4/7n⌋ ≧ (n^(2/3) - 5 )/√⌊4/7n⌋ ≧ z だから . n>N₃ → P( |Tₙ - 4/7n| > n^(2/3) ) < P( Y ≧ z ) + ε/2 ≦ ε あるがこれは矛盾□ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/230

231: １３２人目の素数さん [sage] 2024/09/23(月) 00:44:12.62 ID:PuFOgYAw Claim 2 ) P( | Sₙ - 1/14 n | < 2n^(2/3) ) → 0 (∵) N(0,1) に従う Y をとる。ε>0 をとる。Claim1 と CLT から N>0 を任意の n>N に対して . P(| Tₙ - 4/7 n | ≦ n^(2/3)) < ε/3 . | P(|Σ_k≦4/7n (Xₖ - 1/14)/ √⌊4/7n⌋ | > z ) - P( |Y| > z ) | < ε/3 を満たすようにとれる。さらに z>0 を . P( |Y| > z ) < ε/3 を満たすようにとれる。Xₖ を k ゲームが成功したとき 1、そうでなければ 0 とする。このとき n>N に対して . | Sₙ - 1/14 n | > 2n^(2/3) ∧ | Tₙ - 4/7 n | ≦ n^(2/3) . → | Σ_{k≦4/7n} Xₖ - 1/14 n | . ≧ |Σ_{k≦Tₙ} Xₖ - 1/14 n | - |Σ_{k≦Tₙ} Xₖ - Σ_{k≦4/7n} Xₖ | > n^(2/3) . → |Σ_k≦4/7n (Xₖ - 1/14)/ √⌊4/7n⌋ | > n^(2/3)/√⌊4/7n⌋ > z だから P(| Sₙ - 1/14 n | > 2n^(2/3)) < P(| Tₙ - 4/7 n | ≦ n^(2/3)) + P( |Y| > z ) + ε/3 < ε が成立する。□ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/231

232: １３２人目の素数さん [sage] 2024/09/23(月) 00:44:26.16 ID:PuFOgYAw ( Pf. of the assertion ) ε > 0 を任意に選ぶとき N > 0 を任意の n > N に対して . | (1/14 n ± 2n^(2/3)) / (4/7 n ∓ n^(2/3)) - 1/8 |< ε となるようにとれる。このとき . | Sₙ - 1/14 n | ≦ 2n^(2/3) ⋀ | Tₙ - 4/7 n | ≦ n^(2/3) . → Sₙ/Tₙ > (1/14 n - 2n^(2/3)) / (4/7 n + n^(2/3)) > 1/8 - ε . ⋀ Sₙ/Tₙ < (1/14 n + 2n^(2/3)) / (4/7 n - n^(2/3)) < 1/8 + ε ∴ P( | Sₙ/Tₙ - 1/8 | > ε ) ≦ P(| Sₙ - 1/14 n |>2n^(2/3) ) + P(| Tₙ - 4/7 n |>n^(2/3) ) ∴ Sₙ/Tₙ → 1/8 in Porb. ∴ E(Sₙ/Tₙ) → E(1/8) = 1/8 である。□ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/232

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