分からない問題はここに書いてね 472 (974レス)
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711: 132人目の素数さん [] 2025/03/02(日) 00:13:08.99 ID:OsiFF35f 以下の解答はあっていますか? {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} の2点を a, b とする。 a = (s, sin(1/s)), s ∈ (0, 1] b = (t, sin(1/t)), t ∈ (0, 1] と書ける。 s = t のときには、 [0, 1] ∋ u → (s, sin(1/s)) ∈ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} が点 a, b を結ぶ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} 上のpathである。 s < t のときには、 [s, t] ∋ u → (u, sin(1/u) ∈ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} が点 a, b を結ぶ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} 上のpathである。 t < s のときには、 [t, s] ∋ u → (s + t - u, sin(1/(s + t - u)) ∈ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} が点 a, b を結ぶ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} 上のpathである。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/711
712: 132人目の素数さん [] 2025/03/02(日) 00:14:37.98 ID:OsiFF35f {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} の点 x と {(0, y) : y ∈ [-1, 1]} の点 y を結ぶ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1]} 上のpathが存在しないことはよく知られている。 よって、 {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} の点 x と {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} の点 y を結ぶ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} 上のpathも存在しない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/712
713: 132人目の素数さん [] 2025/03/02(日) 00:15:25.68 ID:OsiFF35f よって、 {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} は {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} の弧状連結成分である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/713
715: 132人目の素数さん [] 2025/03/02(日) 00:31:48.45 ID:OsiFF35f {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} の2点を a, b とする。 a = (0, s), s ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q) b = (0, t), t ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q) と書ける。 s = t のときには、 [0, 1] ∋ u → (0, s) ∈ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} が点 a, b を結ぶ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} 上のpathである。 s < t のときに、 点 a, b を結ぶ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} 上のpathが存在すると仮定する。 そのpathを [v, w] ∋ u → (f(u), g(u)) ∈ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} とする。(v < w である。) f(u) = 0 for any u ∈ [v, w] でなけれればならない。 g(u) ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q) for any u ∈ [v, w]、 g(v) = s, g(w) = t でなければならない。 s < q < t を満たす有理数 q は有理数の集合の稠密性により存在する。 g はpathの定義により連続関数であるから、 g(u_0) = q を満たす u_0 ∈ [v, w] が存在する。 (f(u_0), g(u_0)) は {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} の点ではないから、矛盾が発生した。 よって、 s < t のときに、 点 a, b を結ぶ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} 上のpathが存在しない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/715
716: 132人目の素数さん [] 2025/03/02(日) 00:33:21.38 ID:OsiFF35f t < s のときに、 点 a, b を結ぶ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} 上のpathが存在すると仮定する。 そのpathを [v, w] ∋ u → (f(u), g(u)) ∈ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} とする。(v < w である。) f(u) = 0 for any u ∈ [v, w] でなけれればならない。 g(u) ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q) for any u ∈ [v, w]、 g(v) = t, g(w) = s でなければならない。 t < q < s を満たす有理数 q は有理数の集合の稠密性により存在する。 g はpathの定義により連続関数であるから、 g(u_0) = q を満たす u_0 ∈ [v, w] が存在する。 (f(u_0), g(u_0)) は {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} の点ではないから、矛盾が発生した。 よって、 t < s のときに、 点 a, b を結ぶ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} 上のpathは存在しない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/716
717: 132人目の素数さん [] 2025/03/02(日) 00:37:42.96 ID:OsiFF35f したがって、 {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} の各点はそれ自身で、 {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} の弧状連結成分である。 まとめると、 {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} の弧状連結成分は、 {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]}、 {(0, y)} (y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)) からなる。 よって、 {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} は、非加算個の弧状連結成分を持つ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/717
718: 132人目の素数さん [] 2025/03/02(日) 00:38:07.16 ID:OsiFF35f >>714 そうです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/718
719: 132人目の素数さん [] 2025/03/02(日) 00:40:39.85 ID:OsiFF35f あ、抜けている論点がありました。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/719
720: 132人目の素数さん [] 2025/03/02(日) 00:46:05.88 ID:OsiFF35f s < t のときに、 点 a, b を結ぶ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} 上のpathが存在すると仮定する。 そのpathを [v, w] ∋ u → (f(u), g(u)) ∈ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} とする。(v < w である。) (f(u), g(u)) ∈ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} を満たす u が存在すると仮定する。 (f(u_0), g(u_0)) ∈ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} とする。 [v, u_0] ∋ u → (f(u), g(u)) ∈ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} は {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} の点と {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} の点を結ぶpathであるが、上で示したようにそのようなpathは存在しない。 矛盾が発生した。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/720
721: 132人目の素数さん [] 2025/03/02(日) 00:47:43.45 ID:OsiFF35f s < t のときに、 点 a, b を結ぶ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} 上のpathが存在するにしても、そのpathは {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} 上のpathである。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/721
722: 132人目の素数さん [] 2025/03/02(日) 00:48:35.11 ID:OsiFF35f t < s のときも同様。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/722
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