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711: 03/02(日)00:13 ID:OsiFF35f(1/11) AAS
以下の解答はあっていますか？
{(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} の2点を a, b とする。
a = (s, sin(1/s)), s ∈ (0, 1]
b = (t, sin(1/t)), t ∈ (0, 1]
と書ける。
s = t のときには、 [0, 1] ∋ u → (s, sin(1/s)) ∈ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} が点 a, b を結ぶ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} 上のpathである。
省2
712: 03/02(日)00:14 ID:OsiFF35f(2/11) AAS
{(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} の点 x と {(0, y) : y ∈ [-1, 1]} の点 y を結ぶ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1]} 上のpathが存在しないことはよく知られている。
よって、
{(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} の点 x と {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} の点 y を結ぶ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} 上のpathも存在しない。
713: 03/02(日)00:15 ID:OsiFF35f(3/11) AAS
よって、 {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} は {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} の弧状連結成分である。
715: 03/02(日)00:31 ID:OsiFF35f(4/11) AAS
{(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} の2点を a, b とする。
a = (0, s), s ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)
b = (0, t), t ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)
と書ける。
s = t のときには、 [0, 1] ∋ u → (0, s) ∈ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} が点 a, b を結ぶ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} 上のpathである。
s < t のときに、 点 a, b を結ぶ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} 上のpathが存在すると仮定する。
そのpathを [v, w] ∋ u → (f(u), g(u)) ∈ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} とする。（v < w である。）
省6
716: 03/02(日)00:33 ID:OsiFF35f(5/11) AAS
t < s のときに、 点 a, b を結ぶ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} 上のpathが存在すると仮定する。
そのpathを [v, w] ∋ u → (f(u), g(u)) ∈ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} とする。（v < w である。）
f(u) = 0 for any u ∈ [v, w] でなけれればならない。
g(u) ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q) for any u ∈ [v, w]、 g(v) = t, g(w) = s でなければならない。
t < q < s を満たす有理数 q は有理数の集合の稠密性により存在する。
g はpathの定義により連続関数であるから、 g(u_0) = q を満たす u_0 ∈ [v, w] が存在する。
(f(u_0), g(u_0)) は {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} の点ではないから、矛盾が発生した。
省1
717: 03/02(日)00:37 ID:OsiFF35f(6/11) AAS
したがって、 {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} の各点はそれ自身で、 {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} の弧状連結成分である。
まとめると、 {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} の弧状連結成分は、
{(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]}、
{(0, y)} (y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q))
からなる。
よって、 {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} は、非加算個の弧状連結成分を持つ。
718: 03/02(日)00:38 ID:OsiFF35f(7/11) AAS
>>714
そうです。
719: 03/02(日)00:40 ID:OsiFF35f(8/11) AAS
あ、抜けている論点がありました。
720: 03/02(日)00:46 ID:OsiFF35f(9/11) AAS
s < t のときに、 点 a, b を結ぶ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} 上のpathが存在すると仮定する。
そのpathを [v, w] ∋ u → (f(u), g(u)) ∈ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} とする。（v < w である。）
(f(u), g(u)) ∈ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} を満たす u が存在すると仮定する。
(f(u_0), g(u_0)) ∈ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} とする。
[v, u_0] ∋ u → (f(u), g(u)) ∈ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} は {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} の点と {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} の点を結ぶpathであるが、上で示したようにそのようなpathは存在しない。
矛盾が発生した。
721: 03/02(日)00:47 ID:OsiFF35f(10/11) AAS
s < t のときに、 点 a, b を結ぶ {(x, sin(1/x)) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} 上のpathが存在するにしても、そのpathは {(0, y) : y ∈ [-1, 1] ∩ (R - Q)} 上のpathである。
722: 03/02(日)00:48 ID:OsiFF35f(11/11) AAS
t < s のときも同様。
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