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281(1): 2024/12/22(日)20:38 ID:OfelNVht(1/6) AAS
杉浦光夫著『解析入門I』
p.227の定理4.2とp.231の定理5.3から定理5.4は自明であるにもかかわらず、する必要のない証明をしています。
282: 2024/12/22(日)20:49 ID:OfelNVht(2/6) AAS
定理4.2は閉区間で連続な関数は可積分であるという定理です。
定理5.3は f が I で微分可能で、 f' が可積分ならば ∫_{a}^{b} f' = f(b) - f(a) が成立つ。 f が I で可積分で x で連続ならば F(x) := ∫_{a}^{x} f は x で微分可能で F'(x) = f(x) が成立つというものです。
定理5.4は f が I で連続ならば、 I における任意の一つの原始関数を G とすると ∫_{a}^{b} f = G(b) - G(a) が成立つという定理です。
定理5.4の証明を書くとすると、 f が連続なので、定理4.2により f は可積分である。定理5.3により、 f は原始関数をもつ。 G を f の任意の原始関数とする。
G は I で微分可能で、導関数 f は可積分である。定理5.3により、 ∫_{a}^{b} f = ∫_{a}^{b} G' = G(b) - G(a) が成立つ。
283: 2024/12/22(日)20:54 ID:OfelNVht(3/6) AAS
杉浦光夫さんの定理5.4の証明は↑の証明に比べて妙なものです。
F(x) := ∫_{a}^{x} f は f の原始関数である。
G(x) は仮定により f の原始関数である。
(G - F)'(x) = 0 だから、 G(x) - F(x) = C が成立つ。
G(a) - F(a) = G(a) = C である。
∫_{a}^{b} f = F(b) = G(b) - C = G(b) - G(a)
284: 2024/12/22(日)20:56 ID:OfelNVht(4/6) AAS
「
(G - F)'(x) = 0 だから、 G(x) - F(x) = C が成立つ。
G(a) - F(a) = G(a) = C である。
」
↑このあたりの議論は全く不要なはずです。
285(1): 2024/12/22(日)20:59 ID:OfelNVht(5/6) AAS
なぜこのような妙なことになったのか、以下のように推測します：
杉浦さんはどこかの本から普通の微積分の本に書かれている同様の定理よりも一般的な定理5.3を見つけてきて、その証明を書いた。
一方、連続関数に限定した普通の微積分の本に書かれている定理5.4の証明は普通の微積分の本に載っているものをそのまま書いた。
286: 2024/12/22(日)21:05 ID:OfelNVht(6/6) AAS
小平邦彦さん微積分の本のように自分の頭ですべて考えて書いている本との違いですね。
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