分からない問題はここに書いてね 472 (933ﾚｽ)

分からない問題はここに書いてね 472 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/

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802: １３２人目の素数さん [] 2025/04/05(土) 13:29:15.57 ID:IOmqT4V+ {x_n} を実数列とします。集合 {x_1, x_2, …} は無限集合であるとします。{x_1, x_2, …} は唯一の集積点 x をもつとします。 {x_n} の部分列 {x_m(n)} で x に収束するようなものがあるとします。このとき、 {x_n} は x に収束することを証明してください。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/802

803: １３２人目の素数さん [] 2025/04/05(土) 17:12:46.71 ID:IOmqT4V+ {a_n} に同じ数が無数に含まれることがなければ、 {a_n} が a に収束することは、 S が有界で a が S の唯一の集積点であることと同等である。 解析概論に書かれているこの注意を証明して下さい。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/803

807: １３２人目の素数さん [] 2025/04/05(土) 20:01:16.23 ID:IOmqT4V+ >>803 S := {a_1, a_2, …} とする。 {a_n} に同じ数が無数に含まれることがなければ、 {a_n} が a に収束することは、 S が有界で a が S の唯一の集積点であることと同等である。 {a_n} が a に収束するとする。 収束する点列は有界だから、 S = {a_1, a_2, …} は有界である。 S に a 以外の集積点 b があるとする。 容易にわかるように、 b に収束する {a_n} の部分列が存在する。 a に収束する点列 {a_n} の部分列は、 a に収束するからこれは矛盾である。 よって、 S の集積点は a しかない。 逆に、 S が有界で a が S の唯一の集積点であるとする。 {a_n} が a に収束しないと仮定する。 すると、正の実数 ε で、 無数の自然数 n に対して、 x_n ∈ B(a, ε) でないようなものが存在する。 x_n ∈ B(a, ε) でないような自然数を小さい順にならべた列を m_1, m_2, … とする。 {a_n} には同じ数が無数に含まれることはないから、 {a_{m_1}, a_{m_2}, …} は無限集合である。 {a_{m_1}, a_{m_2}, …} ⊂ S で、 S は有界集合であるから、有名な定理によって、 {a_{m_1}, a_{m_2}, …} には集積点 b が存在する。 B(a, ε) の補集合 C は閉集合であり、 {a_{m_1}, a_{m_2}, …} ⊂ C だから、 b ∈ C である。 よって、 a ≠ b である。 b は S = {a_1, a_2, …} の集積点でもあるから、これは矛盾である。 よって、 {a_n} は a に収束する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/807

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