分からない問題はここに書いてね 472 (974ﾚｽ)
分からない問題はここに書いてね 472 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/
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631: １３２人目の素数さん [] 2025/02/09(日) 02:12:51.65 ID:BnvKFdb2 斎藤毅著『集合と位相』 自然数 N の元を 0 := ∅ 1 := P(0) 2 := P(P(0)) 3 := 2 ∪ {2} 4 := 3 ∪ {3} … と定義しています。 そして、演習問題で N の元の間の関係として、集合の包含関係を考え、 (N, ⊂) が全順序集合になることを証明せよという問題があります。 その演習問題の解答ですが、数学的帰納法を使っています。 通常、数学的帰納法は自然数の理論に含まれます。 ですが、斎藤さんは自然数の定義はしていますが、数学的帰納法については既知としています。 このようなことは許されるのでしょうか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/631
632: １３２人目の素数さん [] 2025/02/09(日) 02:31:49.56 ID:BnvKFdb2 自然数 m, n に関する条件 m ⊂ n ∨ n ⊂ m を C(m, n) で表し、自然数 n に関する条件 ∀m ∈ N C(m, n) を C(n) で表す。 すべての自然数 n に対して C(n) がなりたつことを、 n に関する帰納法で示す。 n = ∅ ならば任意の自然数に対し ∅ ⊂ m である。 よって、 C(0) がなりたつ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/632
633: １３２人目の素数さん [] 2025/02/09(日) 02:31:58.34 ID:BnvKFdb2 C(n) がなりたつとして、すべての自然数 m に対し C(m, n + 1) がなりたつことを、 m に関する帰納法で示す。 m = ∅ のときはよい。 C(m, n + 1) がなりたつとして、 C(m + 1, n + 1) がなりたつことを示す。 C(n) がなりたつから、 C(m + 1, n) もなりたつ。 n + 1 ⊂ m なら n + 1 ⊂ m ⊂ m + 1 であり、 m + 1 ⊂ n なら m + 1 ⊂ n ⊂ n + 1 だから、 m ⊂ n + 1 ∧ m ≠ n + 1 ∧ n ⊂ m + 1 ∧ n ≠ m + 1 の場合に示せばよい。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/633
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