分からない問題はここに書いてね 472 (974ﾚｽ)
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34(2): 2024/05/01(水)02:09 ID:AD3i5GdB(1/4) AAS
〔問題538〕
　∫[0,π] x・sin(x)/[2−cos(x)^2] dx

　高校数学の質問スレ_Part434 - 538

ヒント：x = π−t で置換する。　(565)

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35(1): 2024/05/01(水)02:11 ID:AD3i5GdB(2/4) AAS
I = ∫[0,π] x・sin(x)/[2−cos(x)^2] dx　　(置換 x = π−t)
　= ∫[0,π] (π-t) sin(t)/[2−cos(t)^2] dt

(第1式 + 第2式)/2 より
I　= (π/2)∫[0,π] sin(x)/[2−cos(x)^2] dx　(置換 u=cos(x))
　= (π/2)∫[-1,1] du/(2-uu)
　= (π/(4√2))∫[-1,1] {1/(√2 +u) + 1/(√2 -u)} du
　= (π/(4√2))[ log|(√2 +u)/(√2 -u)| ](u：-1→1)
省2

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36: 2024/05/01(水)02:13 ID:AD3i5GdB(3/4) AAS
〔問題642〕
ab>0とする。
　∫[a,b] cos(x-(ab/x)) dx
を求めよ。

高校数学の質問スレ_Part434 - 642

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37: 2024/05/01(水)02:15 ID:AD3i5GdB(4/4) AAS
　I =∫[a,b] cos(x−ab/x) dx　　(置換 t=ab/x)
　　= ∫[a,b] cos(ab/t−t) (ab/tt)dt,

(第1式 + 第2式)/2 より
　I = (1/2)∫[a,b] cos(x−ab/x) (1+ab/xx)dx
= (1/2)∫[a,b] cos(x−ab/x) (x−ab/x)' dx　(置換 u=x-ab/x)
= (1/2)∫[a-b,b-a] cos(u) du
　　= [ (1/2)sin(u) ](u：a-b→b-a)
省1

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