分からない問題はここに書いてね 472 (933ﾚｽ)

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880: １３２人目の素数さん [] 2025/04/25(金) 04:08:23.55 ID:4SB97Md9 >>878 訂正します： 実は、問題の点 x ∈ I で、 φ'(x) = 0 である場合に、杉浦さんの問題が証明できれば、いいことがあります。 まず、 φ(x) = x^2 * sin(1/x) for x ∈ [-1, 1] - {0}, φ(0) = 0 と定義します。 φ は [-1, 1] で有界変動です。 f を [-1, 1] で連続で、 f(0) ≠ 0 であるような関数とします。 すると、 f は φ に関し [-1, 1] でStieltjes積分可能です。 杉浦さんの問題によると以下が成り立ちます： 「 不定積分 F(x) = ∫_{-1}^{x} f(t) dφ(t) (x ∈ [-1, 1]) は以下をみたす。 φ'(x) が存在し、 f が連続である点 x ∈ I で F は微分可能で、次式が成立つ： F'(x) = f(x) * φ'(x) 」 φ'(0) は存在します。 f は 0 で連続です。 ですので、 F は 0 で微分可能で、 F'(0) = f(0) * φ'(0) が成り立ちます。 他の点 x ∈ [-1, 1] - {0} においても φ'(x) は存在しますし、 f は x で連続です。 ですので、F は x ∈ [-1, 1] - {0} で微分可能で、 F'(x) = f(x) * φ'(x) が成り立ちます。 F' は 0 で連続ではありません。 なぜなら、もし連続であるならば、 lim_{x→0} φ'(x) = lim_{x→0} F'(x) / f(x) = F'(0) / f(0) となってしまうからです。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1703482355/880

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